![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Загальна схема дослідження і побудови графіка функції.
На підставі результатів, викладених у попередніх параграфах, можна сформулювати наступну загальну схему дослідження та побудови графіка функції 1. Знайти 2. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат. Для знаходження точки перетину з віссю 3. Дослідити функцію на парність, непарність і періодичність. Якщо функція парна (тобто 4. Знайти асимптоти графіка функції. 5. Знайти інтервали монотонності і точки екстремуму. 6. Знайти інтервали опуклості та вгнутості та точки перегину. 7. Побудувати графік. Розглянемо декілька прикладів. Приклади. 1. 1). Область визначення Функція визначена на всій числовій прямій за виключенням точки 2). Точки перетину з осями координат. При Розв’яжемо рівняння:
Це рівняння не має дійсних коренів, отже графік функції не перетинає вісь 3). Парність, непарність, періодичність. Функція не є ні парною, ні непарною, ні періодичною (перевірте самостійно), тобто маємо функцію загального вигляду. 4). Асимптоти. А). Вертикальні асимптоти. Оскільки функція не визначена в точці
Тобто пряма Б). Похилі асимптоти. Знайдемо
Отже пряма 5). Проміжки монотонності та точки екстремуму. Знайдемо:
Цей вираз перетворюється на нуль в точках
Точка 6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину. Знайдемо:
Цей вираз ніде не дорівнює нулю, але його не визначено в точці
Тобто на 7). Графік.
2. 1). Область визначення. 2). Точки перетину з осями координат
3). Парність, непарність, періодичність. Функція загального вигляду. 4). Асимптоти. Вертикальних нема, оскільки наша функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо похилі. Знайдемо:
5). Проміжки монотонності та точки екстремуму. Знайдемо:
Похідна перетворюється на нуль в точці
6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.
Звідси видно, що критичними точками II роду є точки
7). Графік
3. 1). Область визначення 2). Точки перетину з осями координат.
З віссю 3). Парність, непарність, періодичність. Дана функція загального вигляду. Але можна звести її дослідження до дослідження парної функції, якщо зробити наступне перетворення:
Звідси видно, що достатньо побудувати графік парної функції
4). Асимптоти. Вертикальні асимптоти відсутні, оскільки функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо на похилі, причому внаслідок парності функції достатньо дослідити лише праву похилу асимптоту.
Отже пряма 5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.
Єдиною критичною точкою I роду є точка 6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.
Звідси видно, що на правій півосі єдиною критичною точкою II роду є точка
Рис. 38. А тепер побудуємо графік функції
Рис. 39.
Функції такого типу відіграють важливу роль в теорії ймовірностей і математичній статистиці та носять назву кривих Гаусса*. Вони тісно пов’язані з так званим нормальним розподілом випадкових величин, яке має дуже велике значення в статистичних дослідженнях. А в статистичній фізиці така функція використовується у відомому розподілі Максвелла молекул за швидкостями. 4. 1). Область визначення. Вираз, що стоїть під знаком логарифму, повинен бути додатним, отже:
Розв’язком цієї нерівності є об’єднання інтервалів вигляду
2). Точки перетину з осями координат. З віссю
Тоді 3). Парність, непарність, періодичність. Дана функція є періодичною з періодом
4). Асимптоти. Функція може мати лише вертикальні асимптоти, оскільки досліджується на скінченому проміжку, а похила асимптота пов’язана з прямуванням Розглянемо
Таким чином пряма 5). Проміжки монотонності та точки екстремуму. Маємо:
6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину. Знайдемо
7). Графік.
Рис. 40.
|