![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Правило Лопіталя.
На підставі теореми Коші можна отримати важливе правило для обчислення границь функцій у випадках різних типів невизначеностей Теорема (правило Лопіталя*). Нехай функції
Доведення. Нехай
Якщо Зауваження 1. Теорема зберігає силу і випадках, коли Зауваження 2. Теорема справедлива і тоді, коли
Приклад. Знайти границю Маємо невизначеність типу
Зауваження 3. Якщо похідні
І взагалі, при виконанні відповідних умов, правило Лопіталя можна використовувати доти, поки не прийдемо до зникнення невизначеності. Приклад.
За допомогою правила Лопіталя можна розкривати і невизначеності типу Теорема. Нехай функції Тоді, якщо існує
Доведення цієї теореми ми не наводимо*. Зауважимо тільки, що вона легко розповсюджується на випадки Приклади. 1. Знайти
Цю границю можна обчислити і без використання правила Лопіталя шляхом ділення чисельника і знаменника почленно на
2. Знайти Маємо невизначеність типу
З цього факту випливає, що логарифмічна функція зростає повільніше, ніж будь яка степенева функція з додатним показником. 3. Знайти
Знову маємо невизначеність типу а).
б).
З цього факту випливає, що експонента зростає швидше, ніж будь яка степенева функція з додатним показником. За допомогою правила Лопіталя можна розкривати і невизначеності інших типів шляхом зведення їх до невизначеностей типу Приклади. 1. Тут невизначеність типу
2. Тут невизначеність типу
3. Тут невизначеність типу
Обчислимо тепер границю
Отже 4. Маємо невизначеність типу
Далі:
Отже наша границя дорівнює
|