Параметрично задані функції та їх диференціювання.
У всіх задачах, що розглядалися вище, ми мали справу з функціями, аналітичне задання яких має вид: . Тобто за кожним значенням , знаючи функцію, ми можемо знайти відповідне значення функції . Така формула називається явною. Вона задає безпосередню залежність змінної від змінної . Разом з цим часто доводиться мати справу з іншими видами аналітичного задання функції. Зокрема, з так званим параметричним заданням. Полягає воно в тому, що між змінними та не встановлюється безпосередня залежність, а кожна з цих змінних задається як функція третьої змінної , яка називається параметром:
.
Розглянемо приклади:
1. Нехай точка рухається по координатній площині від моменту часу до моменту . Траєкторією її є деяка лінія на цій площині. (рис.14). Координати точки змінюються з часом: тобто у кожен момент часу точка має свої координати. Тому ми можемо сказати, що координати точки є функціями часу:

Рис. 14.
.
Ці рівняння задають у параметричному вигляді лінію як траєкторію руху точки . У якості параметра тут виступає час. Такий опис руху матеріальної точки широко використовується у задачах механіки. 2. Коло.
Розглянемо коло радіуса з центром у початку координат (рис.15).

Рис. 15.
Якщо – довільна точка кола, то її прямокутні декартові координатні пов’язано рівнянням: . З’єднаємо точку з початком координат радіусом і позначимо через кут, який цей радіус утворює з додатним напрямом осі . Тоді
.
Це й є параметричні рівняння кола.
3. Еліпс.
Розглянемо еліпс з півосями (рис. 16). Рівняння цього еліпса у прямокутній декартовій системі координат має вигляд:
.
Рис. 16.
Як і у випадку кола, з’єднаємо довільну точку на еліпсі радіусом з початком координат і позначимо через кут, який цей радіус утворює з додатним напрямом осі . Тоді можемо отримати параметричні рівняння еліпса:
.
Від явного задання функції завжди можна перейти до параметричного:
.
Але від параметричного рівняння до явного перейти вдається далеко не завжди. Можливо це тоді, коли рівняння вдається розв’язати відносно змінної : . Тобто до функції знайти обернену . Тоді, підставляючи її до другого параметричного рівняння, отримаємо: , тобто перейшли до явного рівняння.
Існують лінії, рівняння яких найчастіше задається саме у параметричній формі.
4. Циклоїда.
Розглянемо у прямокутній декартовій системі координат коло з центром у точці і радіусом (рис. 17).

Рис. 17.
Тоді вісь буде дотичною до цього кола. Тепер припустимо, що коло котиться вздовж осі . Яку траєкторію буде описувати точка на колі? Такою траєкторією буде лінія, яка називається циклоїдою. Її параметричні рівняння мають вид:
.
Тут у якості параметра виступає кут повороту кола. Якщо він змінюється на проміжку , тобто коло повертається на , то описується перша арка циклоїди, якщо , то описуються дві арки тощо.
Розглянемо питання про диференціювання параметрично заданої функції:
.
Теорема. Нехай функції задовольняють умови:
1) ці функції неперервні на і неперервно диференційовні на ,
2) .
Тоді має місце рівність:
.
Доведення. З того, що на та з неперервності функції випливає, що на або , або . Тоді функція строго монотонна на , і має обернену функцію , причому:
.
Тоді , і за формулою для похідної складеної функції маємо:
.
Приклад. Знайти , якщо .
Ці рівняння описують так звану астроїду (рис. 18).

Рис. 18.
Маємо:
.
Ще один спосіб аналітичного задання функції – так званий неявний спосіб. Тут залежність між змінними та задається у вигляді деякого рівняння, яке пов’язує ці змінні:
.
Щоб продиференціювати таку функцію, потрібно взяти похідну від обох частин останньої рівності, вважаючи функцією від , і отримане рівняння розв’язати відносно . Похідна від неявної функції виражається через незалежну змінну і саму функцію .
Приклад. Знайти , якщо .
Візьмемо похідну від обох частин цієї рівності:
.
Або:
.
Звідси:
.
Більш детально питання про неявні функції та їх диференціювання розглядатиметься в розділі «Диференціальне числення функцій багатьох змінних».
|