![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Техніку диференціювання.
Розглянемо таку задачу: знайти похідну функції Такого типу функції називаються показниково– степеневими. І знаходити їх похідні доцільно за допомогою так званого логарифмічного диференціювання. Полягає воно в наступному. Розглянемо функцію
Звідси отримаємо:
Це й є формула логарифмічного диференціювання. Вона стверджує, що похідна функції дорівнює цій самій функції, яку помножено на похідну її натурального логарифму. А похідну від логарифму функції у деяких випадках взяти простіше, ніж похідну від самої функції. Приклади. 1. Знайти похідну функції Знайдемо похідну логарифму цієї функції:
Отже згідно з нашою формулою:
2. Розглянемо більш загальний випадок, а саме знайдемо похідну функції
Маємо:
Звідси:
Зокрема, наприклад:
Логарифмічним диференціюванням є сенс користуватися і в інших випадках. 3. Знайти похідну функції
Взагалі кажучи, цю функцію можна було б продиференціювати і безпосередньо, використовуючи формули для похідних частки і добутку. Але це приведе до дуже громіздких викладок. Доцільніше скористатися логарифмічним диференціюванням. Отже:
Далі ми розглянемо низку прикладів на знаходження похідних функцій, тобто на техніку диференціювання. Приклади. Знайти похідні функцій. 1.
2.
3.
Тут використали формули для похідних частки і добутку. Далі розглянемо приклади на диференціювання складеної функції.
4.
5.
Як бачимо, іноді доводиться диференціювати функції багатократної складеності, тобто такі, в яких внутрішня функція у свою чергу уявляє собою складну функцію. І тоді похідна від цієї внутрішньої функції теж береться як похідна складеної функції. Наприклад, якщо
Маємо:
Диференціювання функцій такого типу нагадує автору казку про Чаклуна Невмирущого. Його смерть була на голці, яка була в яйце, яке було в качці, яка була в зайці, який сидів у скрині, яка висіла на дубі. І щоб вбити Чаклуна, треба було звалити дуб, розбити скриню, вбити зайця, вбити качку, розбити яйце і нарешті зламати голку. Приблизно за таким «алгоритмом» послідовного діставання і диференціюється складена функція.
|