![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Похідні та диференціали вищих порядків.
Нехай функція Якщо
…
Покажчик порядку похідної пишеться у дужках, щоб відрізняти його від покажчика степеня. Приклади. 1. Знайти Маємо:
І продовжуючи так далі, отримаємо:
Зокрема: 2. Знайти Маємо:
3. Знайти Маємо:
Похідні другого порядку можна знайти й від функцій, заданих в параметричній формі. Нехай:
Якщо функції
Аналогічно можна знаходити і похідні вищих порядків. Приклад. Знайти Маємо:
Отже:
І нарешті розглянемо випадок функції, заданої неявно. Приклад. Знайти Маємо:
Далі:
Похідна другого порядку має простий механічний зміст. Якщо Приклад. Знайти прискорення точки в момент часу Маємо:
Звідси: Теорема. Якщо функції
Формула (11.1) називається формулою Лейбніца. Доведення формули Лейбніца. Застосуємо метод математичної індукції. При
Припустимо, що формула (11.1) є вірною для
Доведемо її справедливість для
тобто формула (11.1) справджується й для
Таким чином формулу Лейбніца доведено. Її вигляд аналогічний вигляду відомої формули бінома Ньютона:
Аналогічно похідним можна також знаходити і диференціали вищих порядків. Означення. Диференціалом другого порядку від двічі диференційовної функції Позначається диференціал 2–го порядку символом
Оскільки
Звідси:
Аналогічно визначаються і диференціали вищих порядків:
З останнього виразу маємо:
Зауважимо, що, на відміну від диференціалу 1–го порядку, диференціали 2–го і більш високих порядків вже не мають властивість інваріантності, тобто рівність
Приклад. Знайти Маємо:
Таким чином:
|