Похідні та диференціали вищих порядків.

Нехай функція диференційовна на інтервалі . Її похідна теж є функцією від . Якщо ця функція також диференційовна на , то від неї також можна взяти похідну, тобто знайти . Ця похідна називається похідною другого порядку від функції і позначається .

Якщо у свою чергу диференційовна на , то і від неї також можна взяти похідну , яка позначається і називається похідною третього порядку від функції . Далі аналогічно:

– похідна 4-го порядку,

– похідна 5-го порядку,

…

– похідна –го порядку.

Покажчик порядку похідної пишеться у дужках, щоб відрізняти його від покажчика степеня.

Приклади.

1. Знайти , якщо .

Маємо:

,

,

.

І продовжуючи так далі, отримаємо:

.

Зокрема: .

2. Знайти , якщо .

Маємо:

,

,

,

.

3. Знайти , якщо .

Маємо:

,

,

.

Похідні другого порядку можна знайти й від функцій, заданих в параметричній формі. Нехай:

, де функції неперервні і неперервно диференційовні на , і крім того . Тоді (див. п. 9):

.

Якщо функції двічі неперервно диференційовні на , то

.

Аналогічно можна знаходити і похідні вищих порядків.

Приклад. Знайти , якщо .

Маємо:

, ;

, .

Отже:

(пропущені спрощення проведіть самостійно).

І нарешті розглянемо випадок функції, заданої неявно.

Приклад. Знайти , якщо .

Маємо: , звідки:

.

Далі:

.

Похідна другого порядку має простий механічний зміст. Якщо – координата матеріальної точки в момент часу , то похідна , як ми встановили раніше, дорівнює швидкості точки в цей момент часу: . А друга похідна характеризую швидкість зміни швидкості і дорівнює миттєвому прискоренню точки в момент часу .

Приклад. Знайти прискорення точки в момент часу , якщо рух точки відбувається згідно з законом: .

Маємо: ;

.

Звідси: .

Теорема. Якщо функції і мають в точці похідні -ого порядку, то функція також має в точці похідну -ого порядку, причому:

. (11.1)

Формула (11.1) називається формулою Лейбніца.

Доведення формули Лейбніца. Застосуємо метод математичної індукції. При формула (11.1) справджується, оскільки

.

Припустимо, що формула (11.1) є вірною для . Тобто виконується:

.

Доведемо її справедливість для . Розглянемо:

,

тобто формула (11.1) справджується й для . Тут скористалися формулою для біноміальних коефіцієнтів:

.

Таким чином формулу Лейбніца доведено. Її вигляд аналогічний вигляду відомої формули бінома Ньютона:

.

Аналогічно похідним можна також знаходити і диференціали вищих порядків.

Означення. Диференціалом другого порядку від двічі диференційовної функції називається диференціал від диференціала 1–го порядку цієї функції.

Позначається диференціал 2–го порядку символом . Тобто:

.

Оскільки не залежить від , то , як константу, можна виносити за знак похідної, і тоді отримуємо:

.

Звідси:

.

Аналогічно визначаються і диференціали вищих порядків:

,

,

.

З останнього виразу маємо:

.

Зауважимо, що, на відміну від диференціалу 1–го порядку, диференціали 2–го і більш високих порядків вже не мають властивість інваріантності, тобто рівність при справджується лише тоді, коли являється незалежною змінною. Якщо ж у свою чергу являється функцією іншої змінної, то ця рівність не має місця. Дійсно, нехай , тоді . Отже

, тобто форма диференціала не зберігається.

Приклад. Знайти , якщо .

Маємо: ,

,

.

Таким чином:

.