Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Похідні та диференціали вищих порядків.
Нехай функція диференційовна на інтервалі . Її похідна теж є функцією від . Якщо ця функція також диференційовна на , то від неї також можна взяти похідну, тобто знайти . Ця похідна називається похідною другого порядку від функції і позначається . Якщо у свою чергу диференційовна на , то і від неї також можна взяти похідну , яка позначається і називається похідною третього порядку від функції . Далі аналогічно: – похідна 4-го порядку, – похідна 5-го порядку, … – похідна –го порядку. Покажчик порядку похідної пишеться у дужках, щоб відрізняти його від покажчика степеня. Приклади. 1. Знайти , якщо . Маємо: , , . І продовжуючи так далі, отримаємо: . Зокрема: . 2. Знайти , якщо . Маємо: , , , . 3. Знайти , якщо . Маємо: , , . Похідні другого порядку можна знайти й від функцій, заданих в параметричній формі. Нехай: , де функції неперервні і неперервно диференційовні на , і крім того . Тоді (див. п. 9): . Якщо функції двічі неперервно диференційовні на , то . Аналогічно можна знаходити і похідні вищих порядків. Приклад. Знайти , якщо . Маємо: , ; , . Отже: (пропущені спрощення проведіть самостійно). І нарешті розглянемо випадок функції, заданої неявно. Приклад. Знайти , якщо . Маємо: , звідки: . Далі:
. Похідна другого порядку має простий механічний зміст. Якщо – координата матеріальної точки в момент часу , то похідна , як ми встановили раніше, дорівнює швидкості точки в цей момент часу: . А друга похідна характеризую швидкість зміни швидкості і дорівнює миттєвому прискоренню точки в момент часу . Приклад. Знайти прискорення точки в момент часу , якщо рух точки відбувається згідно з законом: . Маємо: ; . Звідси: . Теорема. Якщо функції і мають в точці похідні -ого порядку, то функція також має в точці похідну -ого порядку, причому: . (11.1) Формула (11.1) називається формулою Лейбніца. Доведення формули Лейбніца. Застосуємо метод математичної індукції. При формула (11.1) справджується, оскільки . Припустимо, що формула (11.1) є вірною для . Тобто виконується: . Доведемо її справедливість для . Розглянемо: , тобто формула (11.1) справджується й для . Тут скористалися формулою для біноміальних коефіцієнтів: . Таким чином формулу Лейбніца доведено. Її вигляд аналогічний вигляду відомої формули бінома Ньютона: . Аналогічно похідним можна також знаходити і диференціали вищих порядків. Означення. Диференціалом другого порядку від двічі диференційовної функції називається диференціал від диференціала 1–го порядку цієї функції. Позначається диференціал 2–го порядку символом . Тобто: . Оскільки не залежить від , то , як константу, можна виносити за знак похідної, і тоді отримуємо: . Звідси: . Аналогічно визначаються і диференціали вищих порядків: , , . З останнього виразу маємо: . Зауважимо, що, на відміну від диференціалу 1–го порядку, диференціали 2–го і більш високих порядків вже не мають властивість інваріантності, тобто рівність при справджується лише тоді, коли являється незалежною змінною. Якщо ж у свою чергу являється функцією іншої змінної, то ця рівність не має місця. Дійсно, нехай , тоді . Отже
, тобто форма диференціала не зберігається. Приклад. Знайти , якщо . Маємо: , , . Таким чином: .
|