![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формула Тейлора.
У розділі «Вступ до аналізу» ми навели класифікацію елементарних функцій. Одним з найпростіших класів функцій є клас многочленів. Нагадаємо, що многочленом (або поліномом) степеня
Многочлени дуже зручні з точки зору обчислювання їх значень. Для цього потрібна лише скінченна кількість арифметичних дій – множення та додавання. Можна використовувати, наприклад, схему Горнера. Для многочлена 4-го степеня, зокрема, вона має вигляд:
Решта функцій (наприклад, такі, як Розглянемо функцію
…
Якщо це буде виконано, то при певних умовах можна буде очікувати, що у точках, достатньо близьких до точки Шукатимемо цей многочлен у вигляді:
тобто не за степенями Знайдемо послідовно похідні:
…
…
Покладемо в цих рівностях
…
…
Звідси:
Таким чином шуканий многочлен має вигляд:
Цей многочлен називається многочленом Тейлора [2] функції Якщо функція
Але у загальному випадку виконання такої рівності ми не можемо стверджувати. Ми можемо очікувати лише наближену рівність:
Точність цієї рівності залежить від величини різниці:
яка називається залишковим членом. Існує декілька виразів (форм запису) цього залишкового члена. Ми доведемо одну з них, яка називається формою Лагранжа. Але спочатку доведемо наступну лему. Лема 1. Нехай функції 1) 2) 3) Тоді
Доведення. Нехай для визначеності
Тобто
Застосовуючи теорему Коші послідовно до функцій
Аналогічно розглядається випадок, коли Теорема 1. Нехай існує
Доведення. Нехай Розглянемо функції
Форма (14.1) залишкового члена формули Тейлора й називається формою Лагранжа. Існують також інші форми запису залишкового члена. До розгляду однієї з них ми зараз переходимо. Лема 2. Якщо для функція
Доведення проведемо методом математичної індукції по числу
Тоді для функції
За теоремою Лагранжа маємо:
Теорема 2. Якщо існує
Доведення. Нехай
Формула (14.2) називається формулою Тейлора з залишковим членом в формі Пеано [3] . Приклад. Розкласти функцію Знайдемо:
За формулою (14.2) при
|