![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Диференціал функції, його застосування до наближених обчислень. Рівняння дотичної до графіка функції.
Пригадаємо означення диференційовної функції. А саме, функція диференційовна у точці
де Перший доданок
Покладемо в цій рівності
Така форма запису диференціала найбільш поширена. Зокрема з неї випливає рівність:
Розглянемо приклади: 1. Знайти диференціал функції Маємо:
2. Знайти диференціал функції а) при довільних б) при Маємо: а) б) Всю таблицю похідних (п. 7) можна переписати як таблицю диференціалів:
Відмітимо деякі важливі властивості диференціалів:
Ці властивості безпосередньо випливають з відповідних властивостей похідних. Ще одна, особливо важлива, властивість диференціала випливає з правила диференціювання складеної функції. А саме, розглянемо складену функцію
Тобто диференціал 1-го порядку зберігає свою форму запису незалежно від того, чи є Застосування диференціала у наближених обчисленнях. Розглянемо приріст диференційовної функції
Як вже відмічалося, доданок
Позначивши:
Ця формула є основою для наближених обчислень. Користуються нею так: нехай треба наближено знайти значення функції Приклади. Розглянемо функцію
Цю формулу можна використовувати як наближену для обчислення квадратних коренів. Користуючись нею, знайдемо наближено
Наближене з точністю до 5-ти знаків після коми значення: 2. Розглянемо функцію
Обчислимо, наприклад,
Наближене з точністю до 5-ти знаків після коми значення: 0, 77017. Формулою (10.1) користуються, як правило, тоді, коли потрібна не дуже висока точність обчислень. В протилежному випадку користуються іншими формулами, які забезпечують вищу точність. Відповідні питання розглядаються в курсах чисельних методів. Геометричний зміст диференціала тісно пов’язано з дотичною до графіка функції. Розглянемо графік диференційовної у точці
Рис. 19.
Проведемо в точці
Це й є рівняння дотичної до графіка функції. Надамо значенню
Таким чином, з геометричної точки зору диференціал функції З’ясуємо тепер механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка Приклади. 1. Скласти рівняння дотичної до графіка функції Користуючись рівнянням (10.2), отримаємо:
Або:
2. Координати точки Маємо:
Справжній шлях дорівнює:
|