Деякі застосування формули Тейлора.

Розглянемо деякі з чисельних застосувань формули Тейлора.

I. Наближене обчислення значень функції.

Наближене обчислення значень функції за допомогою формули Тейлора полягає в тому, що значення функції у точці наближено замінюється значенням многочлена Тейлора (або Маклорена) для даної функції у цій точці. При цьому величина похибки оцінюється величиною залишкового члена формули Тейлора. Саме так робиться в програмах для сучасних комп’ютерів.

Приклади.

1. Обчислити наближено , використовуючи для цього три члени розкладання за формулою Тейлора. Оцінити утворену похибку.

Скористаємось наближеною формулою:

.

При цьому залишковий член у формі Лагранжа набуде вигляду:

,

де знаходиться між точками і . Маємо:

.

Оцінимо похибку (тут ):

.

З урахуванням множника 3 похибка оцінюється так:

.

2. Обчислити наближено число з точністю 0, 001.

Скористаємось формулою Тейлора:

, де

, точка знаходиться між точками 0 та .

Поклавши тут , матимемо:

, (16.1) де

.

Оцінимо:

.

Підберемо з умови:

.

Тоді , звідки . Таким чином для досягнення заданої точності треба в формулі (16.1) покласти , тобто:

.

Аналогічним чином обчислюються наближені значення інших функцій. Наприклад, для функції для цього можна використати послідовні наближені формули, які отримуються з формули Маклорена для цієї функції, якщо в неї послідовно брати один, два, три члени:

, , .

Графіки функції та многочленів Тейлора , , , які послідовно наближають цю функцію, зображено на рис. 26.

Рис. 26.

II. Обчислення границь функцій.

Нехай треба обчислити границю

у випадку невизначеності типу . Припустимо, що функції та мають в точці похідні до деякого порядку включно. Тоді функції і у околі точці розкладають за формулою Тейлора, записуючи залишковий член у формі Пеано. Виникає границя, яка обчислюється простіше.

Приклади.

1. Знайти .

За формулою Маклорена маємо:

,

.

Звідси отримаємо:

.

Тут ми скористалися тим, що .

Розглянемо невизначеність типу .

2. .

Маємо:

.

Тут використали рівності: .