Для дослідження і побудови графіка функції (продовження).

III. Інтервали опуклості та вгнутості функції.

Розглянемо графік функції:

Рис. 30.

Що можна сказати про цю функцію? Очевидно, що вона зростає. Але на різних проміжках характер зростання різний. До точки функція зростає швидко, а після неї повільно. Така ситуація характерна, наприклад, для змін в економіці: зростання обсягу виробництва може бути в деякі періоди швидким, а в деяких повільним, хоча у будь якому випадку все одне є зростання обсягу. Таким чином необхідно вміти знаходити відповідні інтервали для заданих функцій, а також точки, що відокремлюють такі інтервали один від одного.

Якщо ми проведемо дотичні до графіка функції на рис. 30 в різних точках, то в точці ця дотична буде нижче графіка функції, а в точці – вище. Цей факт і покладено в основу наступного означення.

Означення. Функція називається опуклою (вгнутою) на інтервалі , якщо дотична, яку проведено до графіка функції у довільній точці інтервалу, лежить вище (нижче) графіка функції.

На рис. 31 (а) показано графік опуклої функції, а на рис. 31 (б) – графік вгнутої функції.

а б

Рис. 31.

Теорема (достатня умова опуклості (вгнутості) функції). Нехай функція є двічі диференційовною на інтервалі , і виконано нерівність: . Тоді функція є опуклою (вгнутою) на інтервалі .

Доведення. Припустимо для визначеності, що на . Проведемо в довільній точці дотичну до графіка функції. Її рівняння (див. п. 10) має вигляд:

.

Візьмемо тепер довільне і розкладемо функцію за формулою Тейлора:

, де – деяка точка між та . Звідси:

, тобто , а це й означає, що графік функції лежить нижче дотичної, тобто функція опукла.

Аналогічно розглядається випадок .

Означення. Точка , яка відокремлює проміжок опуклості функції від проміжку її вгнутості, називається точкою перегину функції (рис. 32).

Рис. 32.

З попередньої теореми випливає, що у точці перегину друга похідна функції або дорівнює нулю, або не існує. Точки, де дорівнює нулю, або не існує, називаються критичними точками II роду функції .

Теорема (достатня умова перегину). Нехай функція в деякому околі точки має неперервну похідну 2–го порядку, за винятком, може бути, самої точки . Якщо при переході через точку похідна змінює свій знак, то точка є точкою перегину функції .

Доведення. Припустимо для визначеності, що при , і при . Тоді за попередньою теоремою функція опукла при і вгнута при , тобто – точка перегину.

З цих теорем випливає алгоритм дослідження функції на проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.

1. Знайти критичні точки II роду функції .

2. Відмітити ці точки на числовій прямій, тим самим розбивши числову пряму на інтервали.

3. Визначити знак в кожному з отриманих інтервалів. В тих інтервалах, де – функція опукла, а в тих, де – функція – вгнута.

4. Якщо при переході через критичну точку змінює свій знак, і в цій точці функція неперервна, то ця критична точка є точкою перегину.

Приклад. Знайти проміжки опуклості та вгнутості функції .

Маємо: ,

.

Критичні точки II роду ( не існує) і (). Складемо таблицю:

	опукла	перегин	вгнута	перегин	опукла
	–	не існує	+		–

Таким чином проміжки і є проміжками опуклості функції, а проміжок – проміжком вгнутості. Точки є точками перегину.

IV. Асимптоти графіка функції.

Означення. Пряма називається асимптотою графіка функції , якщо відстань від змінної точки графіка до цієї прямої прямує до нуля, якщо відстань від точки до початку координат прямує до нескінченності (рис. 33).

Рис. 33.

Тобто .

Асимптоти графіків функцій поділяються на два типи: вертикальні та похилі (зокрема, горизонтальні). На рис. 34 (а) показано вертикальну асимптоту, на рис. 34 (б) – похилу, на рис. 34 (в) – горизонтальну.

а б в

Рис. 34.

Розглянемо спочатку питання про вертикальні асимптоти. З означення асимптоти випливає, що для існування в точці вертикальної асимптоти необхідно і достатньо, щоб виконувалась одна з наступних умов:

.

Дійсно, в цьому випадку:

при .

З цього факту випливає, що вертикальні асимптоти можливі лише у тих точках, де порушується неперервність функції.

З відомих нам основних елементарних функцій вертикальні асимптоти мають такі функції, як (пряма ), (прямі ), (прямі ).

Перейдемо до похилих асимптот. Вони у свою чергу поділяються на два види: праву (рис. 35а) і ліву (рис. 35б) похилу асимптоту.

а б

Рис. 35.

У першому випадку точка на графіку функції наближається до асимптоти при , а у другому – при . Розглянемо випадок правої похилої асимптоти. Оскільки вона не є вертикальною прямою лінією, її рівняння можна шукати у вигляді:

.

Нехай – довільна точка на графіку функції. Тоді, як відомо з курсу аналітичної геометрії, відстань від цієї точки до асимптоти може бути знайдено за формулою:

.

За умовою . Тому:

.

З цієї рівності необхідно випливає, що

, і оскільки , то

. (18.1)

А оскільки , і , то

. (18.2)

Отже, права похила асимптота існує тоді і тільки тоді, коли існують скінченні границі (18.1), (18.2). Зокрема, якщо , то похила асимптота стає горизонтальною: .

Аналогічно, ліва похила асимптота існує тоді і тільки тоді, коли існують скінченні границі:

, , і тоді її рівняння:

.

Приклади.

1. Дослідити на асимптоти функцію

.

А. Вертикальні асимптоти. Така асимптота можлива лише в точці , оскільки в цій точці функція має розрив. Знайдемо:

, .

Отже пряма є вертикальною асимптотою.

Б. Похилі.

1). Права.

,

.

Отже права похила асимптота існує, та її рівняння має вигляд .

2). Ліва.

, (неважко переконатися, що ті самі границі будуть і при ). Отже ліва похила асимптота також має рівняння .

2. Дослідити на асимптоти функцію .

Вертикальних асимптот нема, оскільки функція неперервна на інтервалі . Дослідимо похилі.

1). Права

,

(див. п. 13). Отже – права похила (у даному випадку горизонтальна) асимптота.

2). Ліва.

, отже лівої похилої асимптоти нема.

3). Дослідити на асимптоти функцію

Вертикальні асимптоти відсутні, оскільки функція неперервна на множині . Дослідимо похилі.

1). Права.

,

.

Таким чином пряма є правою похилою асимптотою.

2). Ліва.

,

.

Таким чином пряма є лівою похилою асимптотою.