![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Для дослідження і побудови графіка функції (продовження).
III. Інтервали опуклості та вгнутості функції. Розглянемо графік функції:
Рис. 30.
Що можна сказати про цю функцію? Очевидно, що вона зростає. Але на різних проміжках характер зростання різний. До точки Якщо ми проведемо дотичні до графіка функції на рис. 30 в різних точках, то в точці Означення. Функція На рис. 31 (а) показано графік опуклої функції, а на рис. 31 (б) – графік вгнутої функції. а б
Рис. 31.
Теорема (достатня умова опуклості (вгнутості) функції). Нехай функція Доведення. Припустимо для визначеності, що
Візьмемо тепер довільне
Аналогічно розглядається випадок Означення. Точка
Рис. 32.
З попередньої теореми випливає, що у точці перегину друга похідна функції або дорівнює нулю, або не існує. Точки, де Теорема (достатня умова перегину). Нехай функція Доведення. Припустимо для визначеності, що З цих теорем випливає алгоритм дослідження функції на проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину. 1. Знайти критичні точки II роду функції 2. Відмітити ці точки на числовій прямій, тим самим розбивши числову пряму на інтервали. 3. Визначити знак 4. Якщо при переході через критичну точку Приклад. Знайти проміжки опуклості та вгнутості функції Маємо:
Критичні точки II роду
Таким чином проміжки IV. Асимптоти графіка функції. Означення. Пряма
Рис. 33.
Тобто Асимптоти графіків функцій поділяються на два типи: вертикальні та похилі (зокрема, горизонтальні). На рис. 34 (а) показано вертикальну асимптоту, на рис. 34 (б) – похилу, на рис. 34 (в) – горизонтальну.
Рис. 34.
Розглянемо спочатку питання про вертикальні асимптоти. З означення асимптоти випливає, що для існування в точці
Дійсно, в цьому випадку:
З цього факту випливає, що вертикальні асимптоти можливі лише у тих точках, де порушується неперервність функції. З відомих нам основних елементарних функцій вертикальні асимптоти мають такі функції, як Перейдемо до похилих асимптот. Вони у свою чергу поділяються на два види: праву (рис. 35а) і ліву (рис. 35б) похилу асимптоту. а б
Рис. 35.
У першому випадку точка на графіку функції наближається до асимптоти при
Нехай
За умовою
З цієї рівності необхідно випливає, що
А оскільки
Отже, права похила асимптота існує тоді і тільки тоді, коли існують скінченні границі (18.1), (18.2). Зокрема, якщо Аналогічно, ліва похила асимптота існує тоді і тільки тоді, коли існують скінченні границі:
Приклади. 1. Дослідити на асимптоти функцію
А. Вертикальні асимптоти. Така асимптота можлива лише в точці
Отже пряма Б. Похилі. 1). Права.
Отже права похила асимптота існує, та її рівняння має вигляд 2). Ліва.
2. Дослідити на асимптоти функцію Вертикальних асимптот нема, оскільки функція неперервна на інтервалі 1). Права
(див. п. 13). Отже 2). Ліва.
3). Дослідити на асимптоти функцію Вертикальні асимптоти відсутні, оскільки функція неперервна на множині 1). Права.
Таким чином пряма 2). Ліва.
Таким чином пряма
|