![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Неперервністю.
Введемо таке означення. Означення. Функція
Звідси випливає, що
Приклад. Доведемо, що функція
Таким чином: Зауважимо, що функція Теорема. Для того, щоб функція Доведення. Доведемо спочатку достатність. Нехай у точці
Тоді на підставі теореми про розкладання функції, яка має границю, на сталу і нескінченно малу (див. розділ «Вступ до аналізу») можемо записати:
Тепер доведемо необхідність. Нехай:
Перейдемо до границі при
У лівій частині рівності стоїть похідна Таким чином диференційовність функції однієї незалежної змінної у точці еквівалентно існуванню у цій точці скінченної похідної. Тому замість того, щоб казати «знайти похідну функції», кажуть «продиференціювати функцію». Але, як ми побачимо у розділі «Диференціальне числення функцій багатьох змінних», для функцій, які залежать від декількох незалежних змінних, диференційовність функції у точці та існування у цій точці похідних не еквівалентно одне одному. Тому й терміни різні. Поняття диференційовності функції у точці пов’язано також з поняттям неперервності функції у цій точці. Теорема. Якщо функція Доведення. Оскільки функція диференційовна у точці
Зауваження. Обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з неперервності функції у точці Приклад 1. Розглянемо функцію Рис. 7.
Ця функція неперервна у кожній точці числової прямої, у тому числі у точці Приклад 2. Розглянемо функцію Якщо неперервна функція диференційовна у точці, то у цій точці існує невертикальна дотична; графік функції є гладкою лінією. Тому диференційовну функцію іноді називають гладкою. Якщо диференційовність у деяких точках відсутня, то на графіку функції в цих точках можуть виникати куточки, заломи (рис. 8).
Рис. 8.
Німецьким математиком К. Вейєрштрассом (1815 – 1897) було побудовано приклад неперервної функції, яка не є диференційовною у жодній точці. Це собі навіть важко уявити: суцільна лінія, яка у кожній своїй точці має залом. Деяке уявлення про те, як це можливо, може дати наступний приклад. Розглянемо рівносторонній трикутник і поділимо кожну з його сторін на три рівні частини. На кожній з середній з них з зовнішнього боку добудуємо ще рівносторонній трикутник (рис. 9):
Рис. 9.
Кожен з відрізків цієї шестикутної зірки знову поділимо на 3 рівні частини і на кожній з них з зовнішнього боку добудуємо рівносторонній три кутник. Отримаємо таку фігуру (рис. 10):
Рис. 10.
На кожному з отриманих таким чином відрізків знов зробимо таку ж саму операцію і так далі. На рис. 10 зображено фігуру, яка отримується після 5 кроків:
Рис. 11.
Існують комп’ютерні програми, які дозволяють будувати таку фігуру для будь якого числа кроків, деякі з них, зокрема можна знайти в Інтернеті. Цей процес можна продовжувати нескінченно. У наслідку отримується крива лінія, яку називають сніжинкою Кох за ім’ям Гельге фон Кох (1870–1924), яка у 1904 році вперше побудувала її. І ця лінія у кожній точці має залом. Лінії такого типу відносяться до так званих фрактальних множин. До них також відносяться відомі канторова множина, килим та губка Серпінського та інші. Останнього часу інтерес до цих множин постійно зростає. Вони знаходять свої застосування у багатьох галузях знань[1]. Існують і більш складні приклади ситуації, коли функція неперервна у точці, але не є в цій точці диференційовною. Розглянемо функцію: Очевидно, що
Цієї границі, як відомо, не існує (див. «Вступ до аналізу»), отже не існує правої похідної в точці Графік цієї функції у околі точки
|