![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Найменших квадратів.
При проведенні експериментальних досліджень часто виникає необхідність за результатами вимірів встановити функціональну залежність однієї величини Нехай експериментально отримано
Загальний вигляд функціональної залежності Рис. 16.
Тоді функцію
Рис. 17.
Тоді функцію Припустимо, що функція
Нашою задачею буде визначити ці параметри таким чином, щоб функція (21.1) якомога краще узгоджувалася з експериментальними даними, що наведено у таблиці. Поширеним методом розв’язання цієї задачі є метод найменших квадратів. Полягає він у наступному. Розглянемо функцію
Ця функція буде характеризувати степінь розбіжності між експериментальними значеннями Таким чином ми отримуємо задачу про знаходження мінімуму функції На підставі теореми про необхідні умови екстремуму значення
Або у розгорнутому вигляді:
Таким чином отримали систему Розглянемо випадок, коли функція
Звідси: Або:
Отримали систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь з двома невідомими Приклад. Нехай на підставі експерименту отримано наступні пари значень величин
Шукаємо функцію Розв’язуючи цю систему, знаходимо:
Розташування точок та графік побудованої лінійної залежності показано на рис. 18.
Рис. 18.
Контрольні питання. 1. Що таке метричний простір? Наведіть приклади метричних просторів. 2. Який метричний простір називається повним? 3. Яка точка називається внутрішньою точкою множини? 4. Яка точка називається граничною точкою множини? 5. Яка точка називається межовою точкою множини? 6. Які множини називаються відкритими, які замкненими? 7. Що таке функція багатьох змінних? Що є геометричним зображенням функції двох змінних? 8. Що називається лінією рівня функції двох змінних? Де використовуються лінії рівня? 9. Наведіть означення границі функції багатьох змінних у точці. 10. Наведіть означення неперервності функції багатьох змінних у точці. 11. Що таке частинні похідні функції багатьох змінних? 12. Яка функція називається диференційовною у точці? Який зв’язок між неперервністю функції в точці та її диференційовністю в цій точці? Чи до- статньо для диференційовності функції в точці існування в цій точці час- тинних похідних функції в цій точці? 13. Що таке диференціал функції багатьох змінних, який його зв’язок з при- ростом функції? 14. Як можна використати диференціал функції для наближених обчислень? 15. Що таке похідна функції багатьох змінних за заданим напрямом? 16. Що таке градієнт функції? Який напрям характеризується градієнтом? 17. Що таке дотична площина та нормаль до поверхні? Який вектор є векто- ром нормалі до поверхні? 18. Що таке точка екстремуму функції багатьох змінних? Чим відрізняється екстремум функції від її найбільшого та найменшого значень? Які необ- хідні умови екстремуму? Чи є ці умови також й достатніми? 19. Що таке умовний екстремум функції багатьох змінних? 20. У чому полягає ідея методу найменших квадратів?
|