На замкненій та обмеженій множині .

Відомо, що функція , яка задана і неперервна на замкненій та обмеженій множині , досягає на цій множині свого найбільшого та найменшого значень (2-а теорема Вейєрштрасса). У внутрішніх точках множини диференційовна функція може набувати цих значень лише у точках екстремуму. Тому треба знайти всі критичні точки функції , які лежать всередині області , тобто такі точки, у яких частинні похідні 1-го порядку функції або дорівнюють нулю (стаціонарні точки), або не існують. Потім обчислити значення функції в цих точках. Далі треба знайти найбільше та найменше значення нашої функції на межі множини . Використовуючи рівняння межі (на різних її частинах це можуть бути різні рівняння), цю задачу зводять до знаходження найбільшого та найменшого значень функції однієї змінної на деякому відрізку. Серед всіх здобутих таким чином значень обирають найбільше та найменше.

Приклади.

1. Знайти найбільше та найменше значення функції

на множині , якщо цією множиною є трикутник, який утворено прямими

в області , обмеженій прямими (рис. 13).

Рис. 13.

Знайдемо критичні точки нашої функції. Маємо:

.

Дорівнюючи ці похідні до нуля і скорочуючи на і (всередині трикутника ), дістанемо систему рівнянь:

З цієї системи знаходимо: . Таким чином, маємо одну критичну точку , яка лежить всередині трикутника . Значення функції у цій точці: .

Дослідимо тепер функцію на межі трикутника . Рівняння сторін та трикутника є відповідно та , тому значення нашої функції дорівнює нулю в усіх точках відрізків і , зокрема . Розглянемо тепер відрізок . Його рівняння , тому тут .

Далі , звідки . Всередині відрізка лежить точка . Значення функції у цій точці . Крім того .

Отже найбільше значення функції на множині дорівнює , а найменше .

2. Переріз каналу має форму рівнобічної трапеції заданої

площі (рис. 14). Як обрати розміри так, щоб омита поверхня каналу була найменшою?

Шукана поверхня каналу буде найменшою, якщо найменшою буде величина .

Маємо:

.

Рис. 14.

Оскільки , то

.

Звідси:

.

А тоді

.

З рис. 14 зрозуміло, що . Таким чином ми повинні функцію дослідити на найменше значення на множині . Функція неперервна в і приймає лише додатні значення, оскільки при . Знайдемо:

.

Ці частинні похідні існують у всіх точках множини . Знайдемо точки, де дорівнюють нулю:

З другого рівняння цієї системи знаходимо: .

Підставляючи в перше рівняння, знайдемо :

.

Тоді

.

Легко переконатися, що у точці функція досягає саме найменшого значення (зробить це самостійно). Таким чином, шукані розміри:

.