Дотична площина і нормаль до поверхні.

Розглянемо у просторі поверхню , яку задано рівнянням:

. (15.1)

Означення. Пряма лінія називається дотичною до поверхні у точці , якщо вона є дотичною до якої-небудь кривої, яка лежить на поверхні і проходить через точку (рис. 11).

Рис. 11.

Оскільки через точку проходить безліч різних кривих, що лежать на поверхні , то й дотичних до поверхні, що проходять через точку , буде, взагалі кажучи, безліч.

Означення. Якщо в точці всі похідні існують, неперервні, та хоча б одна з них відмінна від нуля, то точка називається звичайною точкою поверхні . Якщо у точці хоча б одна з похідних не існує, або всі вони в цій точці дорівнюють нулю, то точка називається особливою точкою поверхні .

Теорема. Якщо точка є звичайною точкою поверхні , то всі дотичні до поверхні у точці лежать в одній площині.

Доведення. Розглянемо на поверхні деяку лінію , яка проходить через точку . Нехай криву задано параметричними рівняннями:

. (15.2)

Тоді вектор – радіус-вектор довільної точки на кривій . Зокрема, якщо , то – радіус-вектор точки .

Вектор

є дотичним вектором до кривої у довільній точці цієї кривої. Зокрема

– дотичний вектор до кривої у точці .

Якщо вирази (15.2) підставити до рівняння (15.1), то отримаємо тотожність відносно , оскільки крива лежить на поверхні :

. (15.3)

Здиференцюємо цю тотожність за :

.

Зокрема, цю рівність виконано для точки :

.

Вектор є градієнтом функції у точці . Таким чином скалярний добуток цього вектора і дотичного в точці дорівнює нулю:

.

Отже вектор перпендикулярний до вектора . Проведене міркування справедливе для будь-якої кривої , яка лежить на поверхні і проходить через точку . Отже дотичний вектор до будь-якої такої кривої перпендикулярний до одного й того ж вектора . Тому всі дотичні, які проведено до поверхні у точці лежать в одній площині, нормальним до якої є саме вектор . Теорему доведено.

Означення. Площина, у якій розташовано всі дотичні прямі до кривих на поверхні , які проходять через точку , називається дотичною площиною до поверхні у точці (рис. 12).

Рис. 12.

Якщо точка – звичайна точка поверхні , то дотична площина у цій точці обов’язково існує. Але в особливих точках дотичної площини може не існувати. Дотичні прямі до поверхні у такій точці можуть не лежати в одній площині. Наприклад, вершина конічної поверхні є особливою точкою. Дотичні до конічної поверхні у цій точці не лежать в одній площині (вони самі утворюють конічну поверхню).

Користуючись рівняннями площини у просторі , яка проходить через точку і має нормальний вектор :

, і тим, що, як ми довели,

, можемо записати рівняння дотичної площини до поверхні у точці :

. (15.4)

Якщо, зокрема, рівняння поверхні задано в формі , то рівняння дотичної площини набуває вигляду:

. (15.5)

Означення. Пряма лінія, яку проведено через точку поверхні перпендикулярно дотичній площині, називається нормаллю до поверхні.

Користуючись канонічними рівняннями прямої лінії у просторі , яка проходить через точку і має напрямний вектор :

, а також тим, що напрямним вектором у даному випадку є вектор , можемо записати рівняння нормалі:

. (15.6)

Якщо, зокрема, рівняння поверхні задано у вигляді , то рівняння нормалі набуває вигляду:

.

Зауваження. Нехай поверхня є поверхнею рівня для деякої функції 3-х змінних , тобто

.

Тоді вектор нормалі до цієї поверхні рівня, який проходить через точку , є . Таким чином напрям градієнта функції в точці співпадає з напрямом нормалі до поверхні рівня функції , яка проходить через точку .

Приклад. Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні, яку задано рівнянням:

(15.7) у точці , якщо .

Оскільки точка лежить на поверхні, її координати повинні задовольняти рівняння поверхні (15.7). Звідси знайдемо ординату точки дотику:

.

Звідси, враховуючи умову , отримуємо: , і таким чином – точка дотику.

Знайдемо:

.

У якості нормального вектора можна взяти цей вектор, або колінеарний йому, більш короткий вектор . Отже рівняння дотичної площини, згідно з (15.4), має вигляд:

, а рівняння нормалі, згідно з (15.6):

.