Неявні функції та їх диференціювання.

Як ми знаємо, рівняння деяких ліній на площині частіше записуються не у вигляді явної залежності ординати точки на лінії від її абсциси , а у вигляді співвідношення більш загального, так званого неявного вигляду, яке пов’язує змінні та :

. (12.1)

Наприклад, рівняння еліпсу:

.

З рівняннями такого типу досить часто доводиться мати справу в багатьох задачах теорії та практики. У зв’язку з цим виникає питання: за яких умов рівняння (12.1) визначатиме змінну як функцію змінної ? І що можна сказати про похідну цієї функції? Зауважимо, що розв’язати рівняння (12.1) відносно змінної (також, як і змінної ) вдається далеко не завжди. Якщо, наприклад, у вищеназваному рівняння еліпсу це можливо:

, то у випадку, наприклад, такого рівняння:

такої можливості нема.

Означення. Функція називається неявною, якщо її може бути визначено з нерозв’язаного відносно рівняння вигляду (12.1).

Відмітимо, що не будь яке рівняння вигляду (12.1) визначає як неявну функцію змінної . Наприклад, для рівняння

такої можливості нема.

Сформулюємо теорему, яка встановлює умови, за яких рівняння (12.1) визначає як неявну функцію змінної і дає формулу для обчислення похідної цієї функції.

Теорема (про існування неявної функції). Нехай виконано наступні умови:

1) функція має в околі точки неперервні частинні похідні ;

2) ;

3) .

Тоді існує прямокутник , у якому рівняння (12.1) визначає як неявну функцію змінної . Функція неперервно диференційовна на інтервалі , та справедлива формула:

. (12.2)

Доведення цієї теореми ми не наводимо. Існує її узагальнення на випадок системи рівнянь вигляду:

,

…

.

Приклад. Довести, що рівняння

(12.3) визначає як неявну функцію змінної та знайти її похідну.

Скористаємось теоремою про існування неявної функції. У даному випадку . Очевидно, що . Знайдемо:

.

Таким чином в якості точки може бути використано точку (0, 0). Тоді згідно з теоремою існує прямокутник , у якому рівняння (12.3) визначає як неявну функцію від . Знайдемо похідну цієї функції. Маємо: . Згідно з формулою (12.2):

.