Частинні похідні та диференціали вищих порядків.

Розглянемо функцію 2-х змінних . Нехай у неї існують частинні похідні . Ці частинні похідні у загальному випадку також є функціями змінних , і від цих функцій також можна обчислювати похідні за та за (звичайно, за умови їх існування). Тобто можна знайти . Ці частинні похідні називаються частинними похідними 2-го порядку від функції і позначаються як:

, ,

, .

Похідні називаються мішаними.

Аналогічним чином визначаються похідні 2-го порядку від функції змінних :

.

Приклад. Знайти частинні похідні 2-го порядку від функції

.

Знайдемо спочатку частинні похідні 1-го порядку:

, .

А тепер похідні 2-го порядку:

, , , .

Ми бачимо, що похідні співпали. Випадково це, чи ні? Чи завжди будуть дорівнювати одна одної мішані частинні похідні, тобто чи залежать ці частинні похідні від порядку диференціювання? Відповідь на це дає наступна теорема.

Теорема Шварца [3] (про рівність мішаних похідних). Якщо функція визначена разом зі своїми похідними в деякому околі точки , і похідні неперервні в точці , то у цій точці справджується рівність:

.

Доведення. Розглянемо вираз:

.

Введемо допоміжну функцію , яку визначено рівністю:

.

Тоді . Оскільки визначена у околі точки , то функція диференційовна на відрізку , і за теоремою Лагранжа маємо:

, де між точками та . Але

.

Оскільки визначена в околі точки , то диференційовна за на відрізку , тому, також за теоремою Лагранжа, матимемо:

, де між точками та . Отже

. (16.1)

Перепишемо тепер величину у вигляді:

.

Введемо допоміжну функцію , яку визначено рівністю:

.

Тоді . Знову за теоремою Лагранжа:

, де між точками та . Але

.

Тому знову за теоремою Лагранжа:

, і тоді

. (16.2)

З (16.1) та (16.2) тоді маємо:

.

Перейдемо до границі при :

.

Оскільки похідні неперервні в точці , то

.

Звідси

, що й треба було довести.

Аналогічна теорема справджується й для функції будь якого числа змінних.

Зауваження. Вимога неперервності похідних в точці суттєва. Якщо від неї відмовитися, то твердження теореми втрачає силу. Розглянемо приклад:

Знайдемо:

оскільки . Звідси , а тоді , зокрема .

Аналогічно отримуємо, що .

Таким чином для даної функції , тобто результат диференціювання залежить від порядку диференціювання. Це пов’язано з тим, що похідні у точці розривні.

Похідні 2-го порядку можна також диференціювати як за , так й за . Тоді отримаємо частинні похідні 3-го порядку. Для функції це буде:

.

Взагалі, частинна похідна -го порядку є перша похідна від частинної похідної -го порядку. Наприклад, є похідною -го порядку: функція спочатку разів диференціюється за , а потім за .

Для функцій довільного числа змінних частинні похідні вищих порядків визначаються аналогічно.

Введемо тепер поняття диференціалу 2-го порядку.

Нехай функція має на множині неперервні частинні похідні 1-го та 2-го порядків.

Означення. Диференціалом 2-го порядку від функції називається диференціал від диференціалу 1-го порядку, обчислений у припущенні, що і є сталими.

Позначається диференціал 2-го порядку як

.

Розглянемо цю рівність детальніше:

.

Наприклад, для функції :

.

Для функції диференціал 2-го порядку визначається аналогічно, і у цьому випадку маємо:

.

Аналогічно визначаються диференціали вищих порядків:

.

Для диференціалу -го порядку від функції маємо формулу:

. (16.3)

Приклад. Знайти , якщо .

Знайдемо:

.

За формулою (16.3) маємо:

.