![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Умовний екстремум.
У багатьох задачах на найбільше та найменше значення функції питання зводиться до знаходження екстремумів функцій від таких декількох змінних, які не є цілком незалежними, а пов’язані деякими додатковими співвідношеннями. Зокрема, такого типу задачею є й задача знаходження найбільшого та найменшого значень функції на замкненій та обмеженій множині (змінні припускаються такими, що відповідна точка належить цій множині). Змінні також можуть бути такими, що задовольняють деякі рівняння. Тоді ми отримуємо задачу на так званий умовний екстремум. Нехай на відкритій множині
Рівняння (20.1) будемо називати рівняннями зв’язків. Означення. Точка Точки умовного мінімуму та максимуму функції називаються точками умовного екстремуму функції. Припустимо, що з системи (20.1) можна виразити які-небудь Приклад. Знайти точки умовного екстремуму функції Рівняння зв’язку
Таким чином отримали задачу на звичайний екстремум функції однієї змінної У загальному випадку розв’язати систему (20.1) відносно частини змінних вдається далеко не завжди, тому для знаходження умовного екстремуму частіше використовується інший метод, а саме метод множників Лагранжа. Розглянемо функцію
Означення. Точка
Складемо матрицю:
Позначимо:
Далі позначимо:
Теорема (достатні умови умовного екстремуму). Нехай функції Тоді, якщо Доведення теореми ми тут не наводимо. Приклад 1. Знайти екстремуми функції Складемо функцію Лагранжа:
Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа, для чого розв’яжемо систему рівнянь:
З перших трьох рівнянь маємо:
Підставляючи у четверте рівняння, отримуємо:
Складемо 2-й диференціал функції Лагранжа за змінними
Таким чином:
Для точки Приклад 2. Згідно принципу Ферма, світло, яке виходить з точки Нехай
Рис. 15.
Таким чином, треба дослідити на екстремум функцію:
Складемо функцію Лагранжа:
Звідси:
Знайдемо другий диференціал функції Лагранжа за змінними
Внаслідок (20.2) в стаціонарній точці маємо:
Отже функція
Це й є закон заломлення світла. Задачі на екстремум функцій за наявності обмежень є досить поширеними. Теорія екстремальних задач інтенсивно розвивається, їй присвячено численні дослідження, вона знаходить широке коло застосувань. Метод множників Лагранжа має глибокі узагальнення, зокрема, на випадки, коли обмеження задаються системою нерівностей. В конкретних прикладних задачах множники Лагранжа мають змістовну інтерпретацію. В механіці ними задаються реакції зв’язків, в економіці – ціни на продукти виробництва, тощо.
|