![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Задачі що приводять до поняття похідної.
Диференціальне числення функцій однієї змінної.
Автори: Щоголев С. А., доктор фізико-математических наук, професор кафедри вищої математики, доцент Грибняк С. Т., кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої математики, доцент
Рецензенти.
Попов В. Г. – доктор фізико-математичних наук, завідуючий кафедрою вищої математики Одеської національної морської академії, професор
Плотніков А. В. – доктор фізико-математичних наук, завідуючий кафедрою прикладної та обчислювальної математики і САПР Одеської державної академії будівництва та архітектури, професор
Григор’єв Ю. О. – кандидат фізико-математичних наук, доцент кафедри вищої та прикладної математики Одеського національного морського університету, доцент
Навчально-методичний посібник написано відповідно до навчальної програми дисципліни «Математичний аналіз» для підготовки бакалаврів, спеціалістів та магістрів за спеціальностями «фізика», «прикладна фізика», «астрономія». Посібник містить основні поняття, методи, теореми та формули, багато розв’язаних типових задач, а також завдання для самостійної роботи студентів.
Рекомендовано науково-методичною радою ОНУ імени І. І. Мечникова (протокол № 1 от 24.10.2013).
Задачі що приводять до поняття похідної. Диференціальне числення – це розділ математики, в якому вивчається дослідження функцій за допомогою нескінченно малих (див. розділ «Вступ до аналізу»). Деякі задачі диференціального числення було поставлено та розв’язано ще у стародавні часи. Але загальні методи були розроблені І. Ньютоном та Г. Лейбніцем у XVII ст. А у XIX ст. у працях О. Коші, К. Вейєрштрасса та ін. було дано обґрунтування цих методів на підставі теорії границь. Центральним поняттям диференціального числення являється поняття похідної. Розглянемо декілька задач, які приводять до цього поняття. 1. Задача про дотичну до графіка функції. Розглянемо деяку криву лінію до точки
Рис. 1.
Граничне положення Розглянемо тепер графік деякої функції
Нехай тепер
Тоді, оскільки функція
Рис. 2.
Отриману границю називають похідною функції 2. Задача про миттєву швидкість точки. Нехай матеріальна точка
Рис. 3.
Позначимо через
Але це саме середня швидкість. Разом з цим на протязі часу
Як бачимо, з точністю до позначень вийшла точно така сама границя, що й у задачі про дотичну, тобто виникла та ж сама похідна. 3. Задача про густину неоднорідного стрижня. Розглянемо тонкий прямолінійний стрижень довжини
Рис. 4.
Позначимо через
Середньою густиною
Лінійною густиною стрижня у точці
4. Задача про швидкість хімічної реакції. Нехай
Границя середньої швидкості при
Легко помітити, що знову виникає похідна. 5. Задача про інтенсивність виробництва. Нехай Середньою інтенсивністю виробництва називається відношення:
Інтенсивність виробництва у момент часу
І знову та ж сама похідна. Отже ми навели декілька прикладів – з геометрії, фізики, хімії, економіки. І всі вони привели до одного й того поняття – похідної. Існує ще ціла низка задач, які приводять до того ж поняття. Це добре ілюструє факт універсальності математичних понять і методів: різнорідні за своєю природою реальні процеси можуть описуватись одною й тою ж математичною моделлю. У цьому, зокрема, полягає сила математики. Як зауважив видатний французький математик Анрі Пуанкаре, «математика – це мистецтво давати різним речам одне й те ж найменування».
|