Формула Тейлора для функції багатьох змінних.

З розділу «Диференціальне числення функцій однієї змінної» ми знаємо, що функція за умови існування її похідних у деякому околі точки може бути подана за формулою Тейлора:

(залишковий член взято в формі Лагранжа). Покладемо у цій формулі:

.

Тоді

(17.1) .

Підкреслимо, що величина , яка входить в різних степенях у вирази диференціалів у правій частині, точно дорівнює приросту , яке фігу

рує в прирості у лівій частині.

Розповсюдимо цю формулу на випадок функції багатьох змінних. Для спрощення викладення обмежимось випадком функції двох змінних .

Припустимо, що в деякому околі точки функція має неперервні частинні похідні до -го порядку включно. Надамо та прирости відповідно та так, щоб відрізок, що з’єднує точки та не вийшов за межі цього околу. Параметричними рівняннями такого відрізку є

. (17.2)

Підставимо вирази (17.2) замість аргументів функції . Тоді отримаємо функцію однієї змінної :

.

Розглянемо приріст функції в точці :

.

Він дорівнює приросту функції :

.

Функція має в околі точки неперервні похідні до -го порядку включно, тому можна застосувати формулу Тейлора (17.1):

. При цьому диференціал , який міститься у виразах правої частини, дорівнює . Користуючись формулою для похідної складеної функції, знайдемо:

,

.

Продовжуючи так далі, дістанемо:

,

.

Таким чином отримуємо формулу:

. (17.3)

Формула (17.3) називається формулою Тейлора для функції двох змінних з залишковим членом у формі Лагранжа. Якщо цю формулу записати у розгорнутому вигляді, розписавши вирази для диференціалів, вона набуває набагато складнішого вигляду:

(17.4)

Приклад. Написати розвинення за формулою Тейлора функції в околі точки , обмежившись доданками до 3-го порядку включно відносно .

Маємо: ,

,

, ,

, , ,

, , , .

Тому, згідно з (17.4) маємо:

18. Екстремум функції багатьох змінних.