Застосування диференціалу до наближених обчислень.

Як ми знаємо, приріст диференційовної в точці функції має вигляд:

.

Якщо відкинути доданки , то отримаємо наближену рівність:

.

Або:

. (10.1)

Припустимо тепер, що нам треба наближено обчислити значення функції в точці . Якщо вдається знайти іншу точку , яка досить близька до точки , і у якій значення функції та її частинних похідних 1-го порядку відомо, то у рівності (10.1) покладаємо:

.

Тоді отримуємо наближену формулу:

. (10.2)

Зокрема, для функції 2-х змінних маємо:

. (10.3)

Приклад 1. Обчислити наближено .

Шукане число розглядатимемо як значення функції у точці . Покладемо: . Тоді . Знайдемо:

,

.

Підставляючи знайдені значення у формулу (10.3), отримаємо:

.

Точне до трьох десяткових знаків значення: 5, 082.

Приклад 2. Циліндрична судина має внутрішні розміри: радіус основи , висоту м і товщину стінок дм. Знайти наближено об’єм матеріалу, витраченого на виготовлення судини.

Розглянемо функцію . Об’єм матеріалу виражається величиною:

,

де . Згідно з формулою (10.3) маємо:

,

.

Тоді:

.