Границя і неперервність функції багатьох змінних.
Розглянемо функцію змінних . Припустимо, що ця функція визначена у деякому околі точки простору за винятком самої точки .
Означення. Число називається границею функції при , якщо таке, що виконано:
.
Можна надати означення границі функції й на мові послідовностей (означення Гейне):
Означення. Число називається границею функції при , якщо для будь якої послідовності точок , всі елементи якої належать , і такої, що , виконано: .
Еквівалентність цих двох означень доводиться також, як й для функції однієї змінної.
Якщо число є границею функції при , то пишемо:
.
Розглянемо, зокрема, функцію 2-х змінних . Нехай цю функцію визначено в деякому околі точки за винятком самої точки . Якщо є границею функції при , то пишемо:
.
Тобто , виконано: .
Приклад 1. Доведемо, що . Задамо довільне і розглянемо:

.
Звідси видно, що для того, щоб для будь яких таких, що , було виконано , достатньо, щоб , тобто . Наприклад, можна взяти . Таким чином, для довільного ми знайшли таке, що при виконанні нерівності виконано . Це й означає, що .
Приклад 2. Доведемо, що функція
не має границі при . Візьмемо послідовність точок . Оскільки , то . Тепер візьмемо послідовність точок . Тоді , отже . Для будь якого точки , не співпадають з точкою , але послідовності точок , прямують до точки . Тем не менш послідовності значень функції, які відповідають цим послідовностям точок, прямують до різних границь. Це означає, що функція не має границі при .
Означення. Функція , яку визначено в деякому околі точки (включаючи саму точку ) простору називається неперервною в точці , якщо існує , причому .
Тобто, якщо таке, що виконано .
Нехай , . Позначимо: , . Назвемо величини – приростами аргументів функції а величину – повним приростом функції в точці . Очевидно, що, якщо , то , а якщо , то . Тоді означення неперервності функції в точці можна сформулювати так.
Означення. Функція , яку визначено в деякому околі точки (включаючи саму точку ) простору називається неперервною в точці , якщо .
Тобто нескінченно малим приростам аргументів у точці відповідає нескінченно малий повний приріст функції в цій точці.
Приклад 3. Покажемо, що функція неперервна в будь якій точці площини . Нехай – довільна точка площини . Функція визначена на всій площині , і . Легко довести (аналогічно прикладу 1), що . Отже функція неперервна в точці .
Приклад 4. Функція
не є неперервною в точці (0, 0), оскільки границі цієї функції при не існує (див. приклад 2).
Легко показати, що якщо функції , неперервні у точці , то функції , також неперервні в точці . Частка неперервна в точці , якщо .
Означення. Функція називається неперервною на множині , якщо ця функція неперервна в кожній точці множини .
Перша теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на замкненій та обмеженій множині , то функція обмежена на множині .
Друга теорема Вейєрштрасса. Якщо функція неперервна на замкненій та обмеженій множині , то функція досягає на множині свого найбільшого та найменшого значень.
|