Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Метричний простір .
Означення. Множина називається метричним простором, якщо кожній парі елементів та цієї множини поставлено у відповідність невід’ємне число , яке називається відстанню між елементами та , таке, що виконано наступні умови: 1) тоді і тільки тоді, коли ; 2) ; 3) (нерівність трикутника). Елементи метричного простору будемо називати точками. Число називається також метрикою в просторі . Приклади. 1. Нехай – множина дійсних чисел. Тоді можна визначити як . Таким чином – метричний простір. 2. Нехай – множина пар дійсних чисел , . Визна- чимо: . Таким чином отримуємо метричний простір, який позначається як . 3. Нехай – множина упорядкованих трійок дійсних чисел: , . Визначимо: . Отримуємо метричний простір, який позначається як . Просторам можна надати наглядну геометричну інтерпретацію. Розглянемо простір . Як ми знаємо, між множиною дійсних чисел і множиною точок числової прямої існує взаємно однозначна відповідність. І відстань між точками прямої співпадає з відстанню між відповідними точками простору . Тому простір фактично ототожнюється з множиною точок прямої (одновимірний простір). Аналогічним чином простір ототожнюється з множиною точок координатної площини (двовимірний простір), а простір – з множиною точок тривимірного координатного простору. Узагальнюючи поняття просторів , можна ввести багатовимірні простори. Означення. Евклідовим простором називається метричний простір, елементами якого є упорядковані сукупності дійсних чисел: , , , причому відстань між ними визначається формулою: . (2.1)
Властивості 1), 2) відстані, очевидно, виконано. Покажемо, що виконано властивість 3). Для цього доведемо так звану нерівність Коші–Буняковського: : . (2.2) Розглянемо квадратний тричлен: , де , , . Оскільки цей тричлен невід’ємний для будь яких , то його дискримінант недодатний, а саме , тобто отримуємо нерівність (2.2). Доведемо тепер нерівність Мінковського: . (2.3) З нерівності Коші–Буняковського маємо: . Добуваючи з обох частин отриманої нерівності квадратний корінь, отримуємо нерівність (2.3). Покладаючи в (2.3) , , отримуємо нерівність трикутника: . З ім’ям Мінковського[1] пов’язано метричний простір, який не є евклідовим, і який відіграє помітну роль у теоретичній фізиці, зокрема, в теорії відносності.
|