![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теорема (необхідна умова зростання (спадання) функції).Якщо функція диференційована на та зростає (спадає) на , то .
Доведення. Припустимо для визначеності, що функція
Звідси за теоремою про зберігання знаку границі:
З цих теорем випливає, що інтервали монотонності (тобто інтервали зростання та інтервали спадання) функції можуть відділятися один від одного точками, у яких похідна функції або дорівнює нулю, або не існує. Такі точки називаються критичними точками I роду. Отже для знаходження інтервалів монотонності треба: 1) знайти критичні точки I роду; 2) відмітити ці точки на числовій прямій, тим самим розбивши числову пряму на інтервали; 3) визначити знак похідної функції в кожному з отриманих інтервалів; на тих інтервалах, де похідна додатна, функція зростає, а де похідна від’ємна – функція спадає. Приклад. Знайти проміжки зростання та спадання функції
Знайдемо:
Критичні точки дві:
Рис. 32
Отримали три інтервали. Визначимо знак 1) 2) 3)
II. Точки екстремуму. З проміжками монотонності функції тісно пов’язано таке важливе поняття, як екстремум функції. Введемо наступні означення. Означення. Точка
Означення. Точка
Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму функції. З наведених означень випливає, що поняття екстремуму носить так званий локальний характер. В точці екстремуму досягається найбільше або найменше значення функції, але не в усій області її визначення, а лише в деякому, взагалі кажучи, достатньо малому околі цієї точки. А в точках, розташованих за межами цього околу, функція може приймати більші (менші) значення, ніж в точці максимуму (мінімуму). Таким чином точок екстремуму функція може мати декілька, навіть нескінченну кількість (рис. 33).
Рис. 33 Тут Географу ця ситуація може нагадувати гірський ланцюг. Припустимо, що географ, який цікавиться математикою, потрапив до гір, наприклад у Гімалаї. І здійснив сходження на одну з вершин, наприклад, Аннапурну. «Чи досяг я максимуму? – питає він себе. – Так, звичайно. Я стою на вершині і дивлюсь навкруги. Все, що поблизу мене, нижче за мене. Але дивлюсь я вдалечінь. І бачу у біло-синьому просторі ще вищу вершину – Еверест. І тоді я розумію, що, хоча я досягнув максимуму, але цей максимум локальний, відносний, так кажучи. Але ніяк не абсолютний. Адже абсолютним є Еверест». Розшукання точок екстремуму функції є одною з важливих задач математики. Тому треба мати умови, при виконанні яких можна стверджувати, що дана точка є точкою екстремуму. Ці умови формулюються у вигляді наступних теорем. Теорема (необхідна умова екстремуму). Якщо в точці Доведення. Оскільки Зауваження. Обернене твердження до цієї теореми несправедливе, тобто з того, що у деякій точці похідна функції дорівнює нулю, не випливає наявність у цій точці екстремуму. Приклад. Розглянемо функцію
З іншого боку екстремум може існувати в тих точках, де похідна не існує. Як ми знаємо, в точці Таким чином ті точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, або не існує (тобто критичні точки I роду) тільки можуть бути точками екстремуму. Але для того, щоб переконатися, чи дійсно там є екстремум, потрібні достатні умови екстремуму. Теорема (перша достатня умова екстремуму). Нехай Якщо при переході через критичну точку зміни знаку похідної не відбувається, то ця критична точка не є точкою екстремуму. Доведення. Припустимо для визначеності, що для деякого
Тоді на інтервалі З наведених теорем випливає наступний алгоритм знаходження точок екстремуму функції. 1. Знайти критичні точки I роду. 2. Дослідити знак похідної при переході через ці точки. Якщо відбувається зміна знаку, і функція Приклади. Знайти точки екстремуму і проміжки монотонності функції Знайдемо: Похідна
Тут символом 2. Знайти точки екстремуму і проміжки монотонності функції Знайдемо:
Маємо дві критичні точки:
Отже точка 3. Знайти проміжки монотонності та точки екстремуму функції Знайдемо:
Маємо дві критичні точки:
Отже точка
Доведення. Припустимо для визначеності, що Приклад. Знайти точки екстремуму функції Знайдемо:
Дорівнюючи цей вираз до нуля, і, скорочуючи на
Далі знайдемо:
Підставляючи сюди точку
Лекція 9.. Застосування диференціального числення
|