Свойства параллельного перенесения

В предыдущем параграфе мы рассматривали параллельный перенос в бесконечно малом. Рассмотрим теперь параллельный перенос на конечном, но заданном заранее, пути перенесения.

Пусть на поверхности S задана кривая . При t=t 0 мы имеем вектор , касательный к поверхности S. Говорят, что совершён параллельный перенос вектора вдоль кривой С, если в каждой точке кривой построен касательный вектор , такой, что при переходе от t к t+dt вектор есть параллельно перенесенный вектор т.е.

S Рис. 51

при любом t в соответствующей точке поверхности. При этом при t=t ₀ совпадает с . Другими словами, вдоль кривой С задан параллельный перенос вектора , если его можно разбить на множество бесконечно малых переносов.

Иначе говоря, координаты вектор-функции удовлетворяют уравнениям:

с известными начальными условиями

У нас имеется нормальная система линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями Коши. Задача, имеет единственное решение, что обеспечивает однозначный перенос вектора вдоль заданной кривой.

Но в данном случае мы имеем существенную разницу в сравнении с параллельным переносом в пространстве или на плоскости. Если у нас точка М ₀ с вектором , то при параллельном переносе его в некоторую точку М мы будем получать различные результаты в зависимости от пути следования из М ₀ в М. Это легко показать. Но справедлива следующая теорема:

Если в начальный момент времени t=t ₀ на поверхности нам задано два вектора и , то при параллельном перенесении вдоль кривой длины этих векторов и угол между ними не изменятся.

Доказательство. Рассмотрим . При бесконечно малом смещении . Т.к. векторы переносятся параллельно, то направлены по нормали к поверхности, следовательно, , т.е. , значит, . В частности, , , т.е. , и .

Теорема доказана.

Возникает вопрос: каким образом при параллельном переносе сохраняется длина вектора , хотя при любом бесконечно малом смещении является проекцией вектора , т.е. . Дело в том, что не есть точное приращение переносимого вектора , а лишь главная часть этого приращения. Поэтому, хотя и одинаковой длины, вектор «длиннее» их, но на бесконечно малую величину второго порядка.

В заключение сформулируем важную теорему: абсолютное дифференцирование и параллельный перенос векторов на поверхности принадлежат внутренней геометрии поверхности, т.е. эти операции инвариантны при изгибании.

Без доказательства.

Сформулированная теорема имеет широкое применение.

Пусть нам задан прямой круговой конус (см. рис. 50). Нам требуется перенести из точки М ₀ конуса вектор параллельно самому себе в точку М ₁ по некоторому пути. Развернём коническую поверхность на плоскость. Рассмотрим полученный криволинейный треугольник . На плоскости параллельный перенос определён, и мы можем построить вектор .

Свернув развёртку конуса обратно, мы получим, согласно сформулированной теореме, вектор , направленный под углом a к образующей SM 1, но уже на конусе, т.е. в плоскости, касающейся конуса в точке М 1 и под тем же углом a к образующей.

Рис. 52 М 1 a