Вычисление геодезической кривизны

По определению вектор геодезической кривизны получается в результате проектирования вектора кривизны на касательную плоскость к поверхности. Из первой формулы Френе . Т.к. кривая С лежит на поверхности, то . Здесь . В силу этого можно записать: , . В сокращённой записи последнее равенство можно записать в виде , где согласно деривационным формулам, имеем: . При проектировании на касательную плоскость исчезает слагаемые, содержащие и мы получим:

. Для вычисления геодезической кривизнынужно найти модуль последнего вектора. Наиболее просто это сделать так: , [8]

Т.к. и , то ­– геодезическая кривизна.

В правой же части, согласно формуле, имеем . Тогда для геодезической кривизны имеем формулу: . Из этой формулы следует, что принадлежит внутренней геометрии поверхности, следовательно, это есть инвариант изгибания.

Если формулу переписать в развёрнутом виде, то получим

Рассмотрим частный случай, когда кривая на поверхности задана уравнением . Тогда .

В формуле можно вынести . В результате получим:

Но , поэтому примет вид:

Пусть поверхность S есть плоскость, на которой введена декартова прямоугольная система координат (х, у). Тогда , . В этом случае геодезическая кривизна может быть вычислена по формуле . Т.е. мы подтвердили, что в плоском случае вновь получили формулу для кривизны.

Итак, геодезическая кривизна – кривизна плоской кривой в касательном пространстве.