Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверхности

Пусть на поверхности S проведена кривая С. При изгибании поверхности с ней изгибается

и кривая. Т.о. её кривизна меняется. Но кривизну можно разложить на два слагаемых: одно зависит от формы поверхности, т.е. меняется при изгибании (нормальная кривизна), а другое слагаемое при изгибании инвариантно (т.е. принадлежит внутренней геометрии поверхности). Это так называемая геодезическая кривизна. Для любой кривой в пространстве вектором кривизны называют вектор .

q Рис. 46

Из точки М (рис. 46) проведём векторы – касательный к С и – нормаль к S. Считаем, что главная нормаль к С – – совпадает с , т.е. . Построим вектор . Этот вектор – касательный к S, т.к. и нормален к С, т.к. .

Вектор кривизны кривой С , а также векторы и лежат в одной плоскости (нормальной плоскости кривой С). Поэтому вектор можно разложить по направлениям и :

.

Вектор называется вектором нормальной кривизны кривой С, а вектор – векторомгеодезическойкривизны. Длины векторов: – нормальная кривизна, – геодезическаякривизна (кривизна в касательной плоскости). Очевидно, что совпадает по направлению с вектором и равен , т.к. k – длина вектора , а q – угол между и . Т.о. длина вектора – кривизна нормального сечения. Т.о. вектор нормальной кривизны совпадает с вектором кривизны нормального сечения с той же касательной МТ. Здесь же отметим, что угол q – острый, поэтому вектор направлен в сторону вектора .

Для всех кривых на поверхности S с общей касательной МТ в точке М вектор нормальной кривизны будет общим, т.к. он совпадает с вектором кривизны нормального сечения с той же касательной МТ, а такое сечение единственно. Займёмся теперь изучением геодезической

кривизны. Через кривую проведём цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными вектору . Эта поверхность пересечёт касательную плоскость в точке М вдоль линии С 0 (С 0 – ортогональная проекция линии С на касательную плоскость Р к поверхности S в точке М). Касательная плоскость к построенной нами цилиндрической поверхности в точке М пройдёт через образующую, направленную вдоль вектора и касательную МТ к кривой С. Значит, нормаль к цилиндриче-

P Рис. 47

ской поверхности пройдёт вдоль направления , которое ортогонально и . Касательная к С ₀ лежит в плоскости Р, т.к. С ₀ – плоская кривая. Касательная к С ₀ совпадает с МТ.

Итак, кривые С и С ₀ лежат на цилиндрической поверхности, имеют общую касательную МТ. С ₀ – нормальное сечение этой поверхности, т.к. плоскость Р, в которой лежит С ₀, проходит через – нормаль к цилиндрической поверхности.

С точки зрения цилиндрической поверхности вектор – вектор нормальной кривизны кривой С, т.к. он совпадает с проекцией вектора кривизны на нормаль к цилиндрической поверхности, следовательно, совпадает с вектором кривизны нормального сечения С ₀ с той же касательной МТ.

Теперь вернёмся к поверхности S и сформулируем окончательный результат. Вектор геодезической кривизны кривой С на поверхности Sсовпадает с вектором кривизны её ортогональной проекции С ₀ на касательную плоскость к поверхности S в рассматриваемой точке М.