Теорема Гаусса

Здесь мы покажем, что полная кривизна может быть выражена через коэффициенты первой квадратичной формы и её производные. Т.е. полная кривизна К относится к внутренней геометрии поверхности и остаётся неизменной при её изгибании, несмотря на то, что и при изгибании меняются.

Из формулы следует: . Продифференцируем это равенство по , (i, j, k, l =1, 2): . Для исключения поменяем местами индексы l и j: и вычтем из предыдущего равенства: . Положим i, j= 1, k, l= 2: . При остальных комбинациях значений индексов мы получим либо тождественный нуль, либо равенство.

Из следует: определённая комбинация скалярных произведений вторых производных определяется первой квадратичной формой, хотя это неверно по отношению к каждому из произведений в отдельности.

Далее покажем, что дискриминант второй квадратичной формы также определяется первой квадратичной формой.

Из следует: Тогда Здесь мы уже учли, что . Далее учтём ещё, что . Тогда получим: . Отсюда легко найти Это и есть формула Гаусса. Правая часть формулы зависит только от (т.е. от коэффициентов E, F, G первой квадратичной формы) и их первых и вторых производных от и (т.е. это есть функция первой квадратичной формы). Левая же часть в старых обозначениях есть .

Вывод из полученных результатов следующий: при задании первой квадратичной формы вторую квадратичную форму нельзя выбрать произвольно: она должна удовлетворять формуле Гаусса. Кроме этого, т.к. полная кривизна , то она, в силу формулы Гаусса, полностью определяется коэффициентами первой квадратичной формы и первыми и вторыми производными от и от неё.

Подвергнем поверхность изгибанию. Мы уже знаем, что если у каждой её точки сохранить те же значения и , что были до изгибания, то не изменятся , значит и их производные тоже не изменятся. Следовательно, и полная кривизна поверхности при её изгибании не изменится, чего нельзя сказать о главных кривизнах и .

Поверхность, представляющая собой геометрическое место прямых линий, называется линейчатой. Сами же прямые в этом случае называются образующими.

Если касательные к поверхности в точках одной и той же образующей совпадают между собой, поверхность называется развёртывающейся. Для такой поверхности К º 0, все точки такой поверхности являются параболическими.

Очевидна следующая теорема: любая поверхность, изгибаемая на плоскость, есть развёртывающаяся.

Доказательство очевидно: при изгибании К сохраняется, а для плоскости К =0.