Деривационные формулы первой группы

Эти формулы изучают строение векторов .

Рассмотрим вектор . Он имеет первые производные и , вторые производные , (см. таблицу). Каждый из можно разложить по векторам , и :

.

Очевидно, коэффициенты , т.к. . Кратко это можно записать так: .

Умножим скалярно на (т.к. ), т.е. коэффициенты второй квадратичной формы . Т.о. в найдено. Осталось найти шесть коэффициентов . Обозначим скалярное произведение . Очевидно, что . Умножим скалярно на и : (i, j= 1, 2). Решив эту систему, получим: Итак, величины выражаются через с помощью формул. И наоборот, с помощью формул из величин можно найти .

Далее имеем: . Здесь каждый из индексов равен либо 1, либо 2. Но это значение справедливо для всех трёх формул. Продифференцируем первое равенство по , второе – по , третье – по : Сложим почленно второе и третье равенство, затем вычтем первое. С учётом симметрии индексов у и получим: или . Это одна из основных формул теории поверхностей. Её смысл заключается в том, что скалярное произведение выражается только через коэффициенты первой квадратичной формы (точнее, через производные от них).

Выражение называется символами Кристоффеля первого рода.

Если подставить в, можно получить формулы, выражающие через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные . Читателю рекомендуется сделать это самостоятельно и получить в результате символы Кристоффеля второго рода.

Итак, мы определили все коэффициенты в формуле. Их называют первой группой деривационных формул Гаусса (от слова derive – производная).