Формулы для вычисления коэффициентов квадратичных форм

Пусть нам поверхность . Тогда

По определению коэффициентов первой квадратичной формы

Для коэффициентов второй квадратичной формы у нас были формулы Расписав смешанные произведения через координаты соответствующих векторов, получим:

По формулам и можно вычислить коэффициенты первой и второй квадратичных форм в общем случае. Важным частным случаем является тот, когда функция задана явно: . В этом случае . Частные производные Далее , , , .

Если переменные х, у меняются в некоторой области D плоскости xOy, то площадь соответствующей части поверхности выразится формулой .

Вычислим вектор нормали к поверхности: [7]⁾. Его длина равна . Поэтому единичный вектор нормали легко получить: . И тогда коэффициенты второй квадратичной формы можно вычислить по формулам:

, , .

После этого формула для полной кривизны примет вид:

.