Формула Эйлера. Главные кривизны

Выясним геометрический смысл формулы, в частности, коэффициентов .

Пусть . Если , то вектор . Тогда , где – кривизна нормального сечения в первом главном направлении. Если же , то и , где – кривизна нормального сечения во втором главном направлении. Итак, при и при формула принимает вид .

В основном случае (мы его сейчас и рассматриваем) .

Нормальные сечения в данной точке поверхности, касательные к которым идут по главным направлениям, называются главными сечениями, а их кривизны – главными кривизнами в данной точке поверхности.

В силу последних рассуждений формулу можно переписать в виде:

.

Эта формула носит название формулы Эйлера. Из неё можно получить

.

Пусть для определённости . Т.к. достигает максимума при и минимума при или , то при наших предположениях максимальное значение при и минимальное () – при или .

При замене j на – j значение не меняется. Т.е. нормальные сечения, симметричные относительно главных направлений, имеют одинаковую кривизну. Т.е.в наших исследованиях нам достаточно рассмотреть случай возрастания j от 0 до . В этом случае растёт от 0 до 1., т.е. растёт от до . В результате из следует: при повороте касательной нормального сечения от до кривизна нормального сечения монотонно растёт от минимального значения до максимального .

Пусть мы делаем бесконечно малое смещение по поверхности из точки М в каком-либо из главных направлений. При этом . Т.к. мы смещаемся вдоль главного направления, то либо . В силу или , т.е. в случае бесконечно малого смещения в одном из главных направлений векторы и коллинеарны и имеет место одна из формул (формулы Родрига).

Справедливо и обратное утверждение: если для какого-то случая бесконечно малого смещения из заданной точки М по поверхности векторы и коллинеарны, т.е. то это смещение сделано вдоль главного направления, а

В исключительном случае, когда , то кривизна во всех направлениях одинакова. В этом случае точка М называется омбилической (точкой закругления).