Основная формула для кривизны кривой на поверхности

Рассмотрим . Из первой формулы Френе следует, что , где – единичный вектор главной нормали кривой. Тогда скалярное произведение (см. рис. 39), т.к. и единичные векторы. Используя, получим . Но определяется первой квадратичной формой, поэтому последнее равенство даёт: .

Т М¢ Рис. 39

Если точка М на кривой задана, то коэффициенты первой и второй квадратичных форм определены. Из формулы видно, что правая часть зависит только от отношения (или ). Это отношение характеризует направление касательной к кривой смещения ММ¢ (см. §2 гл.V).

Итак, пусть касательная МТ задана. Тогда правая часть вполне определена. Предположим, что соприкасающаяся плоскость к кривой ММ¢ (плоскость, проходящая через векторы и ) также указана. Тогда вполне определена главная нормаль как перпендикуляр к касательной в точке М. Следовательно, определен и угол q между главная нормалью в положительном направлении и нормалью к поверхности. Т.к. k> 0, то знак также вполне определён. Разделив обе части на , мы получим значение кривизны k кривой ММ¢.

Формула устанавливает зависимость между направлением касательной , положением соприкасающейся плоскости и кривизной кривой k.