Вторая квадратичная форма на поверхности

Пусть ММ¢ – некоторая кривая на поверхности (см. рис. 38). Для простоты допустим, что параметром для этой кривой принята длина дуги s, т.е. текущие координаты u и v суть . Тогда . Пусть длина кривой . Соответствующее приращение вектора ,

P M¢ Рис. 38

где все производные берутся в точке М. Если в более ранних исследованиях мы ограничивались разложением по формуле Тейлора до бесконечно малых первого порядка (т.е. поверхность заменяли касательной плоскостью), то сейчас в мы будем учитывать и бесконечно малые второго порядка.

Вектор – единичный вектор нормали к касательной плоскости в точке М. Вектор . Он характеризует уклонение кривой от касательной плоскости. Т.к. , то l есть величина этого уклонения.

. В силу это равно правой части этой формулы. Умножим последнее равенство скалярно на и учтём, что . Тогда для уклонения l получим: Т.о. величина уклонения поверхности от касательной плоскости есть бесконечно малая второго порядка .

Найдём . Для этого вычислим . Из , далее . Тогда . Если обозначить скалярные произведения в правой части через L, M, N соответственно, то запишется в виде: .

Вектор можно определить формулой . Тогда, согласно . После этого скалярные произведения, определяющие L, M, N, можно записать так: . И уклонение l поверхности от касательной плоскости выразится формулой:

. Здесь .

Можно показать (читатель может это сделать самостоятельно), что коэффициенты второй квадратичной формы можно вычислять по формулам: , , . Тогда вторую квадратичную форму можно записать в виде:

.