Первая основная квадратичная форма

Как и в случае кривых, мы будем изучать поверхности в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки. Из рассматриваемой точки M (u, v) сместимся в бесконечно близкую точку М¢ по некоторой кривой (см. рис. 35), определяемой уравнениями . Тогда , , – дифференциал вдоль рассматриваемой кривой. Найдём дифференциал дуги ds кривой, от-

Рис. 35

вечающей смещению ММ¢: . Тогда или, раскрывая скобки, . Если обозначить скалярные произведения в правой части через ,

мы получим:

.

Выражение называется первой квадратичной формой на поверхности. В теории поверхностей она играет большую роль. Эта формула выражает квадрат дифференциала дуги ds при бесконечно малом смещении по поверхности. При этом коэффициенты квадратичной формы определяются в точке M (u, v), из которой мы выходим, а дифференциалы du и dv отвечают данному смещению. Т.о. первая квадратичная форма служит для измерения бесконечно малых дуг на поверхности. В частности длина дуги на поверхности с точностью до бесконечно малых второго порядка может быть вычислена по формуле.

Если же нам нужно знать точное значение длины дуги на поверхности, нужно использовать инструменты, полученные в курсе математического анализа. Там была выведена формула:

.

С помощью первой квадратичной формы можно измерять углы между кривыми (см. рис. 36). Пусть две кривые пересекаются в точке М, – дифференциалы вдоль кривой С 1, , – дифференциалы вдоль С 2. Тогда угол между кривыми (точнее, между касательными и ) можно найти по формуле или

Рис. 36

. Заменив в знаменателе ds и ds по, получим: . В частности, для нахождения угла между координатными линиями u=const и v=const из получаем формулу , ибо вдоль линии u=const , вдоль v=const . Знак ± в формуле указывает, что в качестве j мы можем взять любой из смежных углов.