Криволинейные координаты на поверхности

Неявное уравнение поверхности имеет вид . Точка поверхности называется обыкновенной, если в ней выполнено . Тогда, согласно теории неявных функций, вблизи такой точки, если, например, , уравнение можно разрешить относительно z: . Но нам в дальнейшем будет удобнее работать с параметрическим способом задания поверхности.

Пусть нам задана вектор-функция, зависящая от двух параметров u, v, меняющихся в некоторой области : . Вектор откладывается от начала координат, параметры u, v называются криволинейными координатами поверхности. Когда u, v меняются в области , вектор описывает некоторую поверхность в пространстве. В этом случае говорят, что уравнение есть параметрическое задание поверхности.

Пусть вектор-функция имеет частные производные:

причём  . В координатном виде это означает, что строки матрицы не пропорциональны, т.е. хотя бы один определитель, состоящий из элементов этих строк, отличен от нуля. Пусть это определитель . В этом случае уравнения можно однозначно разрешить относительно u и v: Найденные значения u, v можно подставить в : , т.е. мы получили выражение.

Итак, условие  гарантирует, что в окрестности рассматриваемой точки поверхность будет обыкновенной, т.е. каждой паре значений (х, у) будет соответствовать одно значение z – это простой кусок поверхности.

В дальнейших наших исследованиях мы будем интересоваться поведением поверхности лишь вблизи её заведомо обыкновенных точек. Т.е. для рассматриваемого куска поверхности существует взаимно однозначное соответствие между точками поверхности и некоторой областью изменения параметров (u, v).

Параметры u, v называются криволинейными координатами поверхности [5]⁾. В общем случае они никакого геометрического смысла не имеют. Их цель – отмечать точки поверхности с помощью закона. В выборе параметров u, v имеется широкий произвол, и мы должны уметь отделять факты, относящиеся к самой поверхности, от случайных данных, связанных с выбором координат u, v.