Формулы для вычисления кривизны и кручения

Цель исследования настоящего параграфа – найти связь между векторами величинами с функцией и её производными. Мы знаем, что .

Тогда из первой формулы Френе получим: .

Продифференцируем: или Из полученной системы найдём . Из получаем . Вставляя в, найдём . Перемножим векторно почленно и и учтём, что : . Отсюда, используя, найдём .

Итак, векторы мы нашли (формулы,,). Найдём теперь k и . Перемножим скалярно почленно и. Учитывая, что , получим: . С учётом отсюда можно найти .

Обычно задаётся в виде . Тогда

и формулы для вычисления примут вид:

Итак, если у нас , мы получили формулы для нахождения как так и . На практике часто вектор-функция задана как функция произвольного параметра, т.е. . Поэтому нужно уметь переходить от старого параметра (р) к новому , если нам известна связь . Для этого найдём предварительно производные по новому параметру (штрихами обозначим производные по р):

Тогда векторное произведение будет равно , т.к. , а смешанное — . Остальные члены при перемножении исчезнут, ибо будут иметь нулевые сомножители.

Пусть теперь , а р – произвольный параметр. Тогда , .

Из получаем: , и

.

Известно, что , поэтому, взяв в обе части по модулю, получим для k формулу . Подставив эту формулу в, найдём кручение: .

В более важном для практики координатном виде эти формулы выглядят более громоздко:

,

.

Замечание. В плоском случае, когда , формула упрощается. В этом случае , что и было получено в предыдущей главе.