Кривые на поверхности

Геометрическое место точек на поверхности, криволинейные координаты которого определяются некоторыми уравнениями , называется кривой линиейна поверхности. В векторном виде . Можно положить, например, t=u или t=v. Особое место на поверхности отводится координатным линиям u=const, v=const. Каждая из них образует семейство линий (см. рис. 34). Оба семейства линий вместе называют сетью.

U – const   V – const Рис. 34

Рассмотрим в пространстве кривую . Тогда

В ,

причём, , т.к. мы рассматриваем случай обыкновенной точки.

Векторы и направлены по касательным к соответствующим координатным линиям. Т.к. , то . Сравнивая это с, видим, что вектор , направленный по касательной к кривой, компланарен векторам и , т.е. лежит в плоскости, образованной этими векторами.

Если через точку М поверхности провести всевозможные кривые на поверхности, то касательные к ним, проходящие через точку М, будут лежать в одной и той же плоскости, содержащей векторы и . Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности.

Из можно получить , если считать, что . Множитель не влияет на направление касательной. Векторы и зависят лишь от выбора точки М на поверхности. Т.о. выбор кривой на поверхности определяется лишь отношением (или , если ). В силу в точке касания.

Верно и обратное, т.е. направление касательной (т.е. направление вектора ) определяет этот вектор с точностью до постоянного множителя, т.е. с точностью до отношения . Т.о. это отношение направлением вектора определяется однозначно.

Итак, касательная плоскость проходит через векторы и , значит она ортогональна их векторному произведению .

Оно отлично от нуля, т.к. мы предполагаем, что  . Произведение указывает направление нормали к поверхности в рассматриваемой точке. Само уравнение касательной плоскости запишется в виде . Прямая же, проходящая через вектор нормали, будет удовлетворять уравнению .