Формулы Френе. Кручение

Формулы Френе для пространственной кривой описывают вращение сопровождающего трёхгранника при движении вдоль этой кривой.

Пусть нам задана кривая векторным уравнением , причём k¹ 0. Тогда векторы будут функциями длины дуги, т.е. . выражают векторы через векторы .

Мы уже знаем, что и он направлен вдоль т.е. . Это первая из формул Френе.

Тогда первое слагаемое равно 0, т.к. векторы и коллинеарны, поэтому Но , поэтому . Тогда векторное произведение коллинеарно т.е. ,

– некоторый коэффициент, который называется кручением кривой. есть третья из формул Френе.

Получим теперь вторую формулу Френе. . Из последнего равенства имеем: Воспользуемся формулами и: . Используя формулы, получим вторую формулу Френе: .

Сводка всех формул выглядит так: