Теорема Менье

В настоящем разделе мы займёмся изучением зависимости кривизны k от положения соприкасающейся плоскости при заданной касательной. Пусть через точку М заданной поверхности проходит кривая Г, лежащая на этой поверхности. Эта кривая имеет – единичный вектор по главной нормали, С – центр кривизны этой кривой. Нормальным сечением поверхности в точке М назовём кривую, полученную в результате пересечения поверхности с нормальной плоскостью, т.е. плоскостью, проходящей через нормаль в точке М. Конечно, таких плоскостей бесконечно много. Поэтому для получения нужного нам сечения выберем нормальную плоскость,

С 0 Рис. 40

проходящую через касательную МТ. В результате пересечения данной нормальной плоскости с поверхностью мы получим кривую Г ₀. Ясно, что эта кривая – плоская.

Когда кривизна k ₀ нормального сечения Г ₀ в точке М равна нулю, направление его касательной МТ называется асимптотическим направлением в точке М.

Мы в дальнейшем будем считать, что k ₀> 0. Тогда для кривой Г ₀ плоскость TMN будет соприкасающейся и главной нормалью к Г ₀ будет перпендикуляр MN к рассматриваемой плоскости.

Применим формулу к кривым Г и Г ₀.

Правые части этих формул равны, т.к. коэффициенты квадратичных форм вычисляются в одной и той же точке, отношение вычисляется для одной и той же касательной МТ, значит,

.

Т.к. k> 0, k ₀> 0, значит, и , т.е. q – острый угол.

Формулу можно переписать и по-другому: . Эта формула составляет суть теоремы Менье.

Т.к. (см. рис. 40), то из следует, что в . Т.о. , следовательно СС ₀ перпендикулярна соприкасающейся плоскости кривой Г, т.к. эта плоскость проходит через МС и МТ.

В этом заключается геометрический смысл теоремы Менье.