Исследование кривизны нормальных сечений

Из теоремы Менье следует, что кривизна произвольной кривой на поверхности в заданной точке выражается через кривизну нормального сечения в той же точке. Теперь мы займёмся изучением того, как будет меняться кривизна нормального сечения в зависимости от его направления.

Главная нормаль к нормальному сечению совпадает с нормалью к поверхности: . Т.к. мы рассматриваем всевозможные нормальные сечения в данной точке, может оказаться, векторы в различных случаях могут быть направлены в противоположные стороны. Поэтому и мы использовали знак ² ±². Т.о. угол q между векторами и может быть равен 0 или p, т.е. cos q= ± 1. Т.о. кривиз-

Укло- нение Касательная   Касательная Рис. 41

не нормального сечения будем приписывать знак ² +², если и знак ² –², если (см. рис. 41).

Кривизну нормального сечения со знаком будем обозначать .

Итак, если , то нормальное сечение уклоняется от своей касательной в сторону вектора , если же – в сторону вектора (см. рис. 41).

Мы знаем, что (формула). Здесь , ибо . Учитывая, что cos q= 1 при и cos q= –1 при , получим, что

.

Формула определяет кривизну нормального сечения в зависимости от точки поверхности (коэффициенты квадратичных форм) и направления касательной .

Исследуем формулу. Считаем, что точка М неподвижна, а касательная вращается в касательной плоскости поверхности. Пусть – единичный касательный вектор нормального сечения в точке М, и – единичные главные направления. Ясно, что . Наша задача – установить явный вид этой зависимости. Заменим в квадратичные формы их первоисточниками (т.е. соответствующими скалярными произведениями). Тогда будем иметь:

Рис. 42

. можно заменить соответствующей основной вектор-функцией: . Тогда будем иметь . Но , а . Поэтому

и . Т.к. и – собственные векторы линейной вектор-функции А, то . Тогда (кривизна нормального сечения) с учётом выразится формулой: .