Главные направления вектор-функции

Вернёмся к изучению поверхности . Нормальный единичный вектор в точке М . При бесконечно малом смещении из неё по поверхности векторы и получат приращения, главные части которых есть дифференциалы: Оба этих дифференциала лежат в касательной плоскости, определяемой векторами , а , т.к. . В этой (касательной) плоскости всегда можно определить линейную вектор-функцию, такую, чтобы (см. лемму предыдущего параграфа). Эту вектор-функцию (она единственная) будем называть основной. Можно показать, что она будет симметрической.

Собственные векторы основной вектор-функции называются главными направлениями на поверхности.

Т.к. собственные векторы удовлетворяют условию , то главные направления основной вектор-функции можно определить из условия .

Как следует из предыдущего параграфа, при имеется ровно два главных направления. Если же , то любое направление будет главным.

Главные направления в рассматриваемой точке будем обозначать и , т.е. .