Вычисление главных кривизн и главных направлений

Пусть на заданной поверхности в заданной точке известны коэффициенты первой и второй квадратичных форм. Проставим себе цель найти главные направления и главные кривизны. Мы знаем, что для главных направлений справедливы формулы Родрига, которые в развёрнутом виде можно записать так: . Умножим это равенство скалярно сначала на , затем на : Ранее (§5) мы показали, что , , . Поэтому предыдущие равенства можно записать проще:

Из этой системы можно найти k и (или ). Исключив сначала k, получим уравнение:

.

Раскрыв детерминант, получим .

Это уравнение можно записать и так: .

Эти рассуждения справедливы, если у нас общий случай, т.е. . Если же у нас исключительный случай, когда любое касательноенаправление является главным. Т.о. для точки закругления выполнено , т.е. две строки в определителе пропорциональны. То есть пропорциональны коэффициенты двух квадратичных форм.

Теперь продолжим изучение общего случая. Тогда хотя бы один из коэффициентов уравнения отличен от нуля. Пусть MG–NF ¹ 0. Тогда из следует, что . Разделив это уравнение на , получим квадратное уравнение относительно .

Если LF–ME¹ 0, то из можно получить квадратное уравнение относительно . Если же коэффициенты при и при равны нулю, то из следует, что . Т.е. для одного из главных направлений , для другого – . В этом случае главные направления совпадают с направлениями координатных линий.

Т.о. во всех рассмотренных случаях мы получаем два значения для (или ), отвечающие двум главным направлениям в данной точке поверхности.

Найдём теперь k. Из системы имеем: Эта система однородная относительно du и dv. Она совместна (мы показали выше, что её решение ненулевое), следовательно, определитель этой системы равен нулю: , или . По теореме Виета , . Выражение называется полной (гауссовой) кривизной. Выражение называется средней кривизной поверхности.