Линейная вектор-функция на плоскости. Собственные функции и собственные числа

Линейной вектор-функцией называется закон, по которому каждому вектору ставится в соответствие некоторый вектор . Этот закон обладает следующими свойствами:

1) для любых двух векторов и (линейность)

2) для любого вектора и любого числа l .

Лемма овектор-функции. Пусть даны векторы  . Тогда существует единственная вектор-функция А, такая, что .

Без доказательства.

Линейная вектор-функция называется симметрической, если для любых векторов и справедливо равенство .

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейной вектор-функции А, если существует такое число l, что выполнено равенство: . В этом случае l называется собственным значением вектор-функции А.

Очевиден факт: если – собственный вектор линейной вектор-функции А, то – тоже собственный вектор вектор-функции А для того же собственного значения l. Поэтому вместо понятия “собственный вектор” употребляют выражение «собственное направление».

Из курса линейной алгебры известно, что симметрический оператор (в нашем случае это вектор-функция А) имеет два взаимно перпендикулярных собственных вектора и . Это мы сейчас покажем.

Применим нашу вектор-функцию к ортам прямоугольной системы координат на плоскости: Тогда . Для симметрической вектор-функции .

Собственные числа ищутся из характеристического уравнения (известно из курса линейной алгебры) или . Решая это квадратное уравнение, получим корни . Они вещественны и различны, если дискриминант положителен. А это будет в случае, если и .

После нахождения собственных чисел ищем собственные векторы из векторного уравнения или, расписав его в координатах: В случае , подставляя оба корня последовательно в систему, найдём два собственных вектора и . Окончательно, с точностью до постоянного множителя,

Покажем, что . Т.к. и – собственные векторы вектор-функции А, то , . Умножим первое равенство скалярно на , второе – на . Тогда , . В силу симметрии вектор-функции А левые части этих равенств одинаковы. Тогда, вычтя из одного равенства другое, получим: . Но , следовательно, .

Рассмотрим теперь случай . Здесь дискриминант квадратного уравнения равен нулю, поэтому необходимо, чтобы и . Из выражения для корней квадратного уравнения следует, что и уравнения превращаются в тожества, т.е. любые будут удовлетворять этой системе, следовательно, любой вектор будет собственным вектором оператора А.

Т.о. равенство справедливо для любого вектора . И вектор-функция А является простым умножением вектора на постоянное число а. Плоскость с начерченными на ней векторами вектор-функцией А подвергается преобразованию подобия. Любое направление на этой плоскости будет собственным.

Можно, конечно, найти и два взаимно ортогональных собственных направления – это будут любые два ортогональных направления.