Линии кривизны

Линией кривизны называется кривая, в каждой точке которой касательная направлена по одному из двух главных направлений в этой точке поверхности.

Пусть кривая на поверхности задана уравнениями , где t – параметр вдоль кривой. Тогда в любой точке кривой касательная должна идти по главному направлению в этой точке, для чего необходимо и достаточно, чтобы и при смещении вдоль кривой удовлетворяли условию или в развёрнутом виде (см. §12):

.

Точки закругления в наших исследованиях, как и раньше, мы исключаем. Тогда последнее равенство нигде в тождество не обращается, т.е. его коэффициенты одновременно не могут обратиться в нуль. Пусть, например, в рассматриваемой точке . Тогда из можно получить . В §12 показано, что при наших предположениях это уравнение имеет два различных вещественных корня:

, .

Т.е. вдоль линии кривизны справедливо одно из двух равенств.

В курсе теории дифференциальных уравнений доказывается, что при сделанных предположениях через каждую точку поверхности проходит по одной из кривых, удовлетворяющих системе. Совокупность этих кривых образуют сеть взаимно ортогональных кривых (главные направления ортогональны друг другу).

Если в ,

то, в силу наших предположений, , следовательно, или , или . А это есть координатные линии на поверхности. Справедлива следующая

теорема: Чтобы координатная сеть (u, v) на поверхности совпадала с сетью линий кривизны, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Достаточность следует из равенств.

Необходимость. Пусть координатные линии являются линиями кривизны. Тогда должно выполняться условие, которое вдоль линий v=const запишется в виде . Аналогично, вдоль линий u=const получим .

Дальше рассуждаем от противного. Пусть . Тогда для нахождения F и M имеем систему однородных уравнений. В силу предположения её определитель или . Т.е. все три коэффициента уравнения обращаются в нуль, что невозможно, т.к. точки закругления мы из рассмотрения исключили. Т.о. предположение неверно.

Теорема доказана.