Векторы на поверхности

Нас сейчас будет интересовать вопрос: что такое вектор с точки зрения внутренней геометрии поверхности?

Вектор на поверхности есть направленный отрезок, заданный в некоторой точке поверхности и лежащий в касательной плоскости к поверхности в этой точке. В каждой точке поверхности есть две координатных линии, проходящих через эту точку, имеются два вектора и , касательные к этим координатным линиям. Т.о. любой вектор на поверхности можно представить в виде . При переходе от одной системы координат к другой числа , очевидно, будут меняться. Ясно, что будут меняться и другие рассматриваемые нами величины . Законы их изменения – это область тензорного анализа, в которую мы вторгаться не будем.

Теорема. При изгибании поверхности S координаты вектора не меняются.

Доказательство. Т.к. вектор расположен в касательной плоскости, его можно представить в виде . При изгибании поверхности S уравнения, задающие кривую С не изменятся, ибо не меняются и (мы так изгибаем поверхность). Касательный вектор в новой системе координат можно записать в виде:

С* С Рис. 48

Векторы и приложены к «одной и той же точке» М и М ^*, направлены по касательной к «одной и той же кривой» С и С ^* в одну и ту же сторону – сторону возрастания параметра t. Докажем теперь, что и длины векторов и при изгибании не изменились. , . Т.к. коэффициенты первой квадратичной формы при изгибании не меняются, т.е. , то .

Теорема доказана.

До сих пор мы говорили о векторе в пространстве, о том, что он при параллельном переносе не меняется, т.е. сохраняется длина и направление действия.

Если же говорить о векторе на поверхности, то при его параллельном переносе как вектора пространства мы получим, вообще говоря, вектор, направленный под углом к касательной плоскости, т.е. вектор не на поверхности. Т.е параллельный перенос векторов на поверхности –понятие иное, нежели параллельный перенос в пространстве.

Установим понятие параллельного переноса вектора на поверхности, по крайней мере, в бесконечно малом. Пусть вдоль кривой на поверхности задано векторное поле , т.е. в любой точке М указан вектор , касательный к поверхности в точке М. Рассмотрим точку . При переходе к ней из точки М вместо мы получим вектор , где – при-

Рис. 49

ращение вектора (см. рис. 49). В общем случае не является вектором, касательным к поверхности. Отложим вектор из точки М. Он выйдет из касательной плоскости. Разложим его по двум направлениям: касательному и нормальному к поверхности. Составляющая по нормали, очевидно, равна . Первое слагаемое равно нулю, откуда нормальная компонента вектора равна . Отнимая от вектор , получим касательную составляющую, лежащую в касательной плоскости, т.е. . Этот вектор уже лежит в касательной плоскости. Разность называется абсолютным дифференциалом вектора при переходе от точки М к точке М ¢: . Т.о. абсолютный дифференциал вектора при переходе от М к М¢ равен обыкновенному дифференциалу , спроектированному на касательную плоскость, т.е. это снова касательный вектор к поверхности в точке М.

Пусть . Тогда , т.е. обыкновенный дифференциал направлен по нормали к поверхности в точке М, т.е. при проектировании в точке М мы снова получим : . В этом случае говорят, что вектор есть вектор, параллельно перенесённый из М в М¢.

вектор есть вектор , параллельно перенесённый из М в М¢, если в касательной плоскости в точке М¢ найдётся вектор , превращающийся в при его проектировании на касательную плоскость в точке М. Перейдём теперь к аналитической запи-

Рис. 50

си всего вышесказанного. Эта операция называется абсолютным дифференцированием. Пусть у нас есть вектор , где – координаты вектора в точке М. Тогда или подробнее . Воспользуемся деривационными формулами первой группы[9]⁾:

Здесь – является проекцией вектора на нормаль и в данном случае нас не интересует. Отбросив это слагаемое, мы получим вектор

Выражения в скобках – координаты вектора в разложении по векторам и : . Если вектор перенесён параллельно, то , и мы получим: .