![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Графіка функції.
На підставі результатів, викладених у попередній лекції, можна сформулювати наступну загальну схему дослідження та побудови графіка функції 1. Знайти 2. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат. Для знаходження точки перетину з віссю 3. Дослідити функцію на парність, непарність і періодичність. Якщо функція парна (тобто 4. Знайти асимптоти графіка функції. 5. Знайти інтервали монотонності і точки екстремуму. 6. Знайти інтервали опуклості та вгнутості та точки перегину. 7. Побудувати графік.
Розглянемо декілька прикладів.
Приклади. 1. 1). Область визначення Функція визначена на всій числовій прямій за виключенням точки 2). Точки перетину з осями координат. При Розв’яжемо рівняння:
Це рівняння не має дійсних коренів, отже графік функції не перетинає вісь 3). Парність, непарність, періодичність. Функція не є ні парною, ні непарною, ні періодичною (перевірте самостійно), тобто маємо функцію загального виду. 4). Асимптоти. А). Вертикальні асимптоти. Оскільки функція не визначена в точці
Тобто пряма Б). Похилі асимптоти. Знайдемо
Отже пряма
5). Проміжки монотонності та точки екстремуму. Знайдемо:
Цей вираз перетворюється на нуль в точках
Точка 6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину. Знайдемо:
Цей вираз ніде не дорівнює нулю, але його не визначено в точці
Тобто на
7). Графік.
Рис. 41
2. 1). Область визначення. 2). Точки перетину з осями координат
3). Парність, непарність, періодичність. Функція загального виду. 4). Асимптоти. Вертикальних нема, оскільки наша функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо похилі. Знайдемо:
5). Проміжки монотонності та точки екстремуму. Знайдемо:
Похідна перетворюється на нуль в точці
6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.
Звідси видно, що критичними точками II роду є точки
7). Графік
Рис. 42 3. 1). Область визначення 2). Точки перетину з осями координат.
З віссю 3). Парність, непарність, періодичність. Дана функція загального виду. Але можна звести її дослідження до дослідження парної функції, якщо зробити наступне перетворення:
Звідси видно, що достатньо побудувати графік парної функції 4). Асимптоти. Вертикальні асимптоти відсутні, оскільки функція неперервна на всій числовій прямій. Дослідимо на похилі, причому внаслідок парності функції достатньо дослідити лише праву похилу асимптоту.
Отже пряма 5). Проміжки монотонності та точки екстремуму.
Єдиною критичною точкою I роду є точка 6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину.
Звідси видно, що на правій півосі єдиною критичною точкою II роду є точка
Рис. 43 А тепер побудуємо графік функції
Рис. 44
Функції такого типу відіграють важливу роль в теорії ймовірностей і математичній статистиці та носять назву кривих Гаусса*. Вони тісно пов’язані з так званим нормальним розподілом випадкових величин, яке має дуже велике значення в статистичних дослідженнях.
4. 1). Область визначення. Вираз, що стоїть під знаком логарифму, повинен бути додатним, отже:
Розв’язком цієї нерівності є об’єднання інтервалів виду 2). Точки перетину з осями координат. З віссю
Тоді 3). Парність, непарність, періодичність. Дана функція є періодичною з періодом 4). Асимптоти. Функція може мати лише вертикальні асимптоти, оскільки досліджується на скінченому проміжку, а похила асимптота пов’язана з прямуванням Розглянемо
Таким чином пряма 5). Проміжки монотонності та точки екстремуму. Маємо:
6). Проміжки опуклості та вгнутості та точки перегину. Знайдемо
7). Графік.
Рис. 45
Лекція11. Найбільше та найменше значення функції. Розглянемо функцію 1). Знайти критичні точки функції 2). Відібрати серед них ті, які знаходяться на інтервалі 3). Обчислити значення функції в цих точках. 4). Обчислити значення функції в точках 5) Серед всіх знайдених в попередніх двох пунктах значень відібрати найбільше та найменше. Приклад. Знайти найбільше та найменше значення функції 1). Знайдемо критичні точки функції:
2). На інтервалі 3). 4) 5). Отже Якщо функція Приклад. Знайти найменше та найбільше значення функції Дана функція не є неперервною на відрізку
На інтервалі До знаходження найменших та найбільших значень функції приводить велика кількість задач прикладного характеру. Приклади. 1. Проектується канал зрошувальної системи, поперечний переріз якого є рівнобедрена трапеція (рис. 46). Ширина каналу по дну дорівнює
Рис. 46
Бічна сторона даної трапеції очевидно дорівнює
Кут Знайдемо:
Отже в точці
2. З всіх прямокутників, які вписані в еліпс
Рис. 47
Оскільки прямокутника вписано в еліпс, то одна з вершин прямокутника лежить в першому квадранті. Позначимо її
Очевидно, що
Маємо:
Зокрема при
3. Судина з вертикальною стінкою висотою
Рис. 48
На якій глибині Швидкість рідини, що витікає, за законом Торрічеллі дорівнює
Тоді
Далі маємо:
Знайдемо: Отже висота
Лекція 12. Інтерполяція функцій.
|