![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Наближене розв’язування рівнянь.
I. Інтерполяція функцій. В розділі «Вступ до аналізу» ми розглядали різні способи задання функції і серед них табличний спосіб. Він полягає у тому, що задаються значення функції
Тут І ми відмічали, що один з недоліків цього способу полягає у тому, що неможливо без додаткової інформації про властивості функції знайти її значення при тих значеннях аргументу
Рис. 49
Таким чином задача полягає в побудові такого полінома. Спочатку розв’яжемо більш просту задачу. Побудуємо поліноми
Якщо ми зможемо це зробити, то шуканий поліном запишеться у вигляді:
Дійсно, тоді Оскільки поліном
Оскільки
Тоді
Отже шуканий поліном приймає вид:
Цей поліном називається інтерполяційним поліномом Лагранжа. Розглянемо частинні його випадки. 1.
2.
3.
Приклад. За табличними значеннями функції
наближено знайти Скористаємось поліномом Лагранжа 3–го степеня і знайдемо його значення в точці 11, 3.
Точне до 5 знаків після коми значення: 1, 05308.
II. Наближене розв’язування рівнянь. Нехай треба знайти корінь
З геометричної точки зору це означає, що графік функції Припустимо, ми знайшли такий відрізок Будемо вважати, що функція 1. Метод січних. Проведемо через точки
Поклавши тут
Це точка перетину січної Тепер візьмемо точку
Продовжуючи так далі, отримаємо: …
Тобто отримуємо послідовність
Рис. 50
Ця послідовність монотонно зростає і обмежена зверху, отже вона збіжна. Можна довести, що
2. Метод дотичних. Проведемо дотичну до графіка функції
Поклавши тут
Тепер проведемо дотичну до графіка функції в точці
Її точка перетину з віссю
Внаслідок знову отримуємо послідовність, яка (як можна довести) збігається до кореня
Рис. 51
Приклад. Методом дотичних знайти наближено корінь рівняння
На відрізку
Маємо:
ЗМІСТ Передмова ………………………………………………………………2 Література ……………………………………………………………….3 Лекція 1. Задачі, що приводять до поняття похідної…………………4 Лекція 2. Диференційовність функції в точці, її зв’язок з неперерв- ністю. Правила диференціювання………………………….10 Лекція 3. Похідна складної та оберненої функції. Похідні основних елементарних функцій………………….18 Лекція 4. Логарифмічне диференціювання. Приклади на техніку диференціювання. Параметрично та неявно задані функції та їх диференціювання……………………………………….29 Лекція 5. Диференціал функції, його застосування до наближених обчислень. Рівняння дотичної до графіка функції. Похідні та диференціали вищих порядків……………………………37 Лекція 6. Основні теореми диференціального числення. Правило Лопіталя……………………………………………..46 Лекція 7. Формула Тейлора……………………………………………...58 Лекція 8. Застосування диференціального числення для дослідження та побудови графіка функції…………………………………68 Лекція 9. Застосування диференціального числення для дослідження та побудови графіка функції (продовження)………………. 75 Лекція 10. Загальна схема дослідження та побудови графіка функції.83 Лекція 11. Найбільше та найменше значення функції………………...91 Лекція 12. Інтерполяція функцій. Наближене розв’язування рівнянь..96
* Тейлор Брук (1685–1731) – англійський математик. * Маклорен Колін (1698–1746) – шотландський математик. Працював у галузі аналізу і геометрії. ** Пеано Джузеппе (1858–1932) – італійський математик. Працював у галузі аналізу, алгебри та геометрії. *** Г.М.Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.1. М.: 1969. – С.255–257. * Гаусс Карл Фридрих (1777–1855) – видатний німецький математик
|