Раздел 4. Эндогенность, инструментальные переменные

Модель В. Объясняющие переменные являются стохастическими. Все предпосылки модели А сохраняются. Предположение (A.3) принимает вид E(ε |X) = 0 à независимость распределения регрессионных остатков и факторов (факторы и остатки некоррелируют). Все тестовые процедуры могут быть сохранены.

Распределение статистик критериев (тестовых статистик) можно найти с помощью двухшаговой процедуры. На первом шаге находим условное распределение при фиксированном значении матрицы X; при этом значения объясняющих переменных рассматриваются как детерминированные (как в классической модели). На втором шаге мы получаем безусловное распределение соответствующей статистики, умножая условное распределение на плотность X и интегрируя по всем возможным значениям X.

Таким образом, если ошибка в i -м уравнении коррелированна хотя бы с одной из случайных величин xkj, то ни одно из условие (A.3) не выполняется. Например, это условие не выполняется, если в i -м уравнении какая-нибудь из объясняющих переменных коррелирована с ошибкой в этом уравнении. Последнее характерно для моделей с ошибками в измерении объясняющих переменных и для моделей одновременных уравнений.

Модель С. Модели, в которых некоторые объясняющие переменные коррелированы с ошибкой

Модели с ошибками в измерении объясняющих переменных

Рассмотрим модель порождения данных

со стохастической объясняющей переменной z, для которой

выполнены предположения:

E (ui)= 0, D (ui)=σ ², E (ui |zi)= 0,

Предположим, что значение zi невозможно измерить точно, и в результате измерения вместо истинного значения zi наблюдается значение

xi = zi + vi,

где v_i – ошибка измерения. Подобное положение может соответствовать, например, ситуации, в которой y_i – сбережения i -го домохозяйства, а z_i – располагаемый доход домохозяйства. Пусть

при этом выполнены следующие условия:

• E (v_i )= 0, D (v_i )=σ ²,

• случайные величины ui и vi независимы:

• случайная величина vi не зависит от истинного значения zi.

В этом случае оценка наименьших квадратов не только имеет смещение при конечных, n но и несостоятельна, т.е. даже при неограниченном увеличении количества наблюдений не сходится к истинному значению по вероятности.

Автокорреляция остатков и лагированная зависимая переменная в качестве регрессора

Предположим, что модель задается уравнением:

Предположим также, что остаток подвержен автокорреляции

В этом случае остаток коррелирован с лагированной зависимой переменной. à МНК (а также обобщенный МНК, ОМНК) не дает состоятельных оценок.

Тест Дарбина-Уотсона не действителен для тестирования автокорреляции. Альтернативой является проверка на АК с помощью теста множителей Лагранжа Бреуши-Годфри-Погана.

Одновременность: кейнсианская модель

Рассмотрим кейнсианскую модель потребления

С_t - совокупное потребление (эндогенная, определяется внутри модели)

Y_t - совокупный доход (эндогенная, определяется внутри модели)

I_t - совокупные инвестиции (экзогенная, формируется под воздействием внешних факторов)

β – склонность к потреблению (0< β < 1), в простейшем варианте модели Кейнса – постоянная величина

Подставим первое уравнение во второе, имеем:

Т.е. с ростом объема инвестиций I_t на единицу совокупный выпуск возрастает в среднем на единиц (инвестиционный мультипликатор Кейнса)

Но выпуск зависит также от случайной составляющей уравнения спроса ε _t

Таким образом, в первом уравнении фактор и случайная составляющая коррелируют, т.е. нарушается 4-е условие Гаусса-Маркова. Т.е. МНК-оценка будет смещенной и несостоятельной.

Модель Кейнса (простейший вариант): приведенная форма

Для получения приведенной формы надо все эндогенные переменные выразить через экзогенные

Коэффициенты δ называются коэффициентами приведенной формы. Через них выражаются коэффициенты структурной формы

• Оценки параметров структурной формы модели по МНК являются смещенными и несостоятельными
• нарушаются условия Гаусса-Маркова, т.к. стоящие в правой части уравнения эндогенные переменные коррелируют со случайным фактором
• Оценки параметров приведенной формы модели по МНК являются несмещенными и состоятельными
• По найденным оценкам коэффициентов приведенной формы затем находят оценки коэффициентов структурной формы

• Идентификация – это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели
• С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:
• идентифицируемые;
• неидентифицируемые;
• сверхидентифицируемые

Оценивание методом инструментальных переменных IV

Пусть

Если Cov (u i, xi) ≠ 0, то можно попытаться найти какую-то другую переменную zi, для которой выполняется соотношение Cov (u i, z i) = 0, и кроме того Cov (xi, zi)≠ 0, то такую переменную называют инструментальной переменной, или просто инструментом. Наличие такой переменной позволяет получить состоятельную оценку коэффициента β при переменной

x в ситуации, когда x коррелирована с u. ε. Инструментальная переменная является экзогенной переменной, в том смысле, что она определяется вне связи с рассматриваемым уравнением

yi =α + β xi +ε i, тогда как переменная xi в рассматриваемом контексте является эндогенной переменной – она связана (коррелирована) с ошибкой в этом уравнении, так что значения xi устанавливаются совместно с u.

Обобщенный метод моментов

Читать. М.Вербик «Путеводитель по современной эконометрике». Гл.5

Раздел 5. Метод максимального правдоподобия (ММП)

Отправной точкой оценивания методом Максимального правдоподобия (ММП) является предположение о том, что распределение эндогенной переменной известно, за исключением конечного числа параметров. Эти параметры оцениваются такими значениями, которые придают наблюдаемым значениям наивысшую вероятность, наивысшее правдоподобие.

Т.е. ММП – способ оценивания параметров распределения, если мы предполагается, что общий вид распределения нам известнее.

Часто этот метод используется в моделях, когда эндогенная переменная может принимать только два значения. Ситуации такого рода возникают при исследовании влияния тех или иных субъективных и объективных факторов на наличие или отсутствие некоторого признака у отдельных домашних хозяйств (наличие или отсутствие в семье автомобиля), у отдельных индивидуумов (занятый – безработный), у отдельных фирм (обанкротилась или нет в течение определенного периода) и т.п. Если исследование затрагивает n субъектов, т.е. если мы имеем n наблюдений, то факт наличия или отсутствия такого признака в i –м наблюдении удобно индексировать числами 1 (наличие признака) и 0 (отсутствие признака). Тем самым мы определяем индикаторную (дихотомическую, бинарную) переменную y, которая принимает в i -м наблюдении значение yi. При этом yi =1 при наличии рассматриваемого признака у i -го субъекта и yi = 0 – при отсутствии рассматриваемого признака у i -го субъекта.

Для этих моделей МНК неэффективен, т.к. в них возникает проблема гетероскедастичности.

Для нахождения оценок по ММП строят логарифмическую функцию правдоподобия, для которой ищется экстремум.

Оценка по ММП встроенная в программы для эконометрических расчетов, в частности в Eviews и может быть использована.

Аналогом коэффициента детерминации для ММП является LRI – индекс отношения правдоподобий (likelihood ratio index). Оба этих показателя изменяются в пределах от 0 до 1.

Если речь идет о сравнении нескольких альтернативных моделей бинарного выбора с разным количеством объясняющих переменных, то, как и в случае обычных линейных моделей, сравнивать качество Модели с дискретными объясняемыми переменными альтернативных моделей можно, опираясь на значения информационных критериев Акаике (AIC) и Шварца (SC), а также информационного критерия Хеннана–Куинна

HQ = -2ln Lk / n + 2 p ln(ln n) / n.

Здесь Lk – максимальное значение функции правдоподобия для k –й из альтернативных моделей, а p – количество объясняющих переменных в этой модели.

При этом среди нескольких альтернативных моделей выбирается та, которая минимизирует значение статистики критерия. Заметим, что эти три критерия различаются размерами “штрафа”, который приходится платить за включение в модель большего количества объясняющих переменных.

Для проверки адекватности подобранной модели имеющимся данным имеется ряд статистических критериев согласия; одним из них является критерий Хосмера – Лемешоу, который также реализован в Eviews.

Читать. М.Вербик «Путеводитель по современной эконометрике». Гл.6