Раздел 6. Одномерные модели временных рядов

Модели, в которых наблюдения развернуты во времени, т.е. производятся в последовательные моменты времени (годы, кварталы, месяцы, дни и т.п.), называются моделями временных рядов. При этом значения отдельной объясняющей переменной в последовательные моменты времени образуют временной ряд, модель связывает временные ряды, и это самым существенным образом сказывается на свойствах оценок коэффициентов линейной модели. Под одномерной моделью будем подразумевать такую модель, в которой для прогнозирования будущих значений переменной используются только ее прошлые значения. Например,

yt = β yt – 1 + ε t, t = 1, 2, …, n, y 0 = 0,

в которой ε 1, ε 2, …, ε n – независимые случайные величины, имеющие одинаковое

нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией σ 2.

Это линейная модель наблюдений, в которой в качестве значения объясняющей переменной xt в момент времени t выступает запаздывающее на одну единицу времени значение объясняемой переменной, т.е. xt = yt – 1.

Под временным рядом (time series) понимается последовательность наблюдений

значений некоторой переменной, произведенных через равные промежутки времени. Если

принять длину такого промежутка за единицу времени (год, квартал, день и т.п.), то можно считать, что последовательные наблюдения x 1,..., xn произведены в моменты t = 1, …, n. Основная отличительная особенность статистического анализа временных рядов состоит в том, что последовательность наблюдений x 1,..., xn рассматривается как реализация последовательности, вообще говоря, статистически зависимых случайных величин X 1,..., Xn, имеющих некоторое совместное распределение с функцией распределения.

Накладывая ограничения относительно структуры ряда и структуры его вероятностных характеристик, выделяют строго стационарные ряды, стационарные в широком смысле (слабо стационарные, стационарные второго порядка или ковариационно стационарным) и нестационарные.

Одной из широко используемых моделей временных рядов является процесс авторегрессии (модель авторегрессии). В своей простейшей форме модель авторегрессии описывает механизм порождения ряда следующим образом:

X_t = a X_{t – 1} + ε _t, t = 1, …, n,

где ε _t – процесс белого шума, имеющий нулевое математическое ожидание и дисперсию σ ^2, X ₀ – некоторая случайная величина, а a ≠ 0 – некоторый постоянный коэффициент.

Процесс авторегрессии порядка p (в кратком обозначении – AR(p))

определяется соотношениями

X_t = a₁ X_{t – 1} + a₂ X_{t – 2} + a₃ X_{t – 3}+…+ a_р X_{t – р}, ε _t, t = 1, …, n,

Еще одной простой моделью порождения временного ряда является процесс скользящего среднего порядка q (MA(q)). Согласно этой модели,

Xt = ε t + b 1 ε t– 1 + b 2 ε t– 2 + … + bq ε t–q, bq ≠ 0,

где ε t – процесс белого шума.

Такой процесс имеет нулевое математическое ожидание. Модель можно обобщить до процесса, имеющего ненулевое математическое ожидание μ, полагая

Xt – μ = ε t + b 1 ε t– 1 + b 2 ε t– 2 + … + bq ε t–q,

т.е.

Xt = μ + ε t + b 1 ε t– 1 + b 2 ε t– 2 + … + bq ε t–q.

Для процесса скользящего среднего порядка q используется обозначение MA(q) (скользящее среднее – moving average).

При q = 0 и μ = 0 получаем процесс белого шума. Если q = 1, то

Xt – μ = ε t + bε t– 1

– скользящее среднее первого порядка.

Смешанный процесс авторегрессии – скользящего среднего (процесс авторегрессии с остатками в виде скользящего среднего)

Процесс Xt с нулевым математическим ожиданием, принадлежащий такому классу

процессов, характеризуется порядками p и q его AR и МA составляющих и обозначается

как процесс ARMA(p, q) (autoregressive moving average, mixed autoregressive moving

average). Более точно, процесс Xt с нулевым математическим ожиданием принадлежит

классу ARMA(p, q), если

где ε t – процесс белого шума и b₀ = 1.

В экономике многие временные ряды являются агрегированными. Из указанного выше факта вытекает, что если каждая из компонент отвечает простой модели AR, то при

независимости этих компонент их сумма будет ARMA процессом. Такого же рода процесс

мы получим, если часть компонент имеет тип AR, а остальные компоненты имеют тип MA.

Единственным исключением является случай, когда все компоненты являются MA

процессами – в этом случае в результате получаем MA процесс.

Предположим, наконец, что “истинный ” экономический ряд отвечает AR(p) модели, но значения этого ряда измеряются со случайными ошибками, образующими процесс белого шума (т.е. MA(0)). Тогда наблюдаемый ряд имеет тип ARMA(p, p).

Читать. М.Вербик «Путеводитель по современной эконометрике». Гл.8