Теоретическое введение.

1. Абсолютная и относительная погрешности.

Пусть Х – точное значение некоторой величины, а х – наилучшее из известных приближений. В этом случае ошибка (или погрешность) приближения определяется разностью . Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают абсолютную величину ошибки:

= (1.1)

Величина называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления необходимо знать точное значение Х. Вместе с тем на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число , для которого справедливо неравенство:

(1.2)

Число в этом случае называют предельной абсолютной погрешностью (или границей абсолютной погрешности) приближения х. Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х – это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности этого числа.

Пример 1.1 Возьмем число =3, 14159265358…. Если вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа =3, 1415926. Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения : = =0, 00000005358…. Получили бесконечную дробь, непригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что < 0, 00000006, следовательно число 0, 00000006=0, 6·10^-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения, используемого МК вместо числа : =0, 6·10^-7

Неравенство (1.2) позволяет установить приближения к точному значению Х по недостатку и избытку: (1.3)

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

НГ _х = ; ВГ _х = ; (1.4)

Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки , так же как и наилучшие значения приближения х, получаются на практике в результате измерений. Пусть, к примеру, в результате повторных измерений одной и той же величины получены значения: 5, 2; 5, 3; 5, 4; 5, 3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х =5, 3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГ _х =5, 2, ВГ _х =5, 4, а граница абсолютной погрешности может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГ _х и ВГ _х, т.е. = =0, 1.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки к модулю значения Х (когда оно неизвестно, то к модулю приближения х). Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

= (1.5)

Формула (1.5) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:

= (1.6)

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Пример 1.2. Вычислить границу относительной погрешности приближения к числу , используемого 8-разрядным МК (см. пример 1.1)

Учитывая, что < 0, 2·10^-7, можно принять =0, 000002%. Это чрезвычайно высокая точность, если учесть, что для ординарных технических расчетов считается приемлемым уровень точности от 0, 1 до 5%.

1. Правильная запись и округление чисел.

Цифра называется верной (в широком смысле), если абсолютная погрешность этого числа не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример 1.3. а). Пусть а =2, 91385, =0, 0097. В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

б). Возьмем в качестве приближения к числу =3, 141592… число =3, 142. Тогда

< 0, 001= , откуда следует, что в приближенном значении =3, 142 все цифры являются верными.

Отметим, что первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной. Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Это понятно – сохранять в записи чисел неверные цифры нет смысла, но важно и другое: если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, к примеру, записано приближенное число а =16, 784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0, 001. Это значит, что можно принять = 0, 001, т.е. а= 16, 784 0, 001.

Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи b =109, 070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения b, как следует из записи, можно считать = 0, 001. Для сравнения можно заметить, что значение с =109, 07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что =0, 01.

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков. Можно сказать короче: значащими цифрами числа являются все цифры в его правильной записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1.4. 0, 2409 – четыре значащие цифры; 24, 09 – четыре значащие цифры; 100, 700 – шесть значащих цифр.

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность округления. Пусть х - данное число, а х₁ – результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:

= .

Пример 1.5. Выполним на 8-разрядном МК действие 1: 6. На индикаторе высветится число 0, 1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0, 1(6) до количества разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять =0, 7·10^-7.

Рассмотренный случай принудительного округления называется округлением методом отбрасывания. Очевидно, что сам по себе метод отбрасывания оставляет все сохраняемые цифры округленного числа верными.

Если вычисления ведутся с точностью меньшей, чем машинная точность, целесообразнее пользоваться способом симметрического округления, который приводит к меньшей величине округления, чем способ отбрасывания. Симметрическое округление производится по следующим правилам:

- если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5, то сохраняемые десятичные знаки остаются без изменения;

- если первая слева из отбрасываемых цифр больше или равна 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу;

Из правил симметрического округления следует, что его погрешность не превышает половины единицы последнего сохраняемого разряда. Это обстоятельство позволяет вести счет с точностью большей, чем единица последнего сохраняемого разряда. По этой причине, наряду с понятием “верная цифра в широком смысле”, соответствующим методике округления путем отбрасывания, используется понятие “цифра, верная в строгом смысле”, применяемое в вычислениях с симметрическим округлением.

Отметим, что погрешности принято записывать с одной (редко с двумя) значащей цифрой. Кроме того, при округлении погрешности обычные правила округления неприменимы: погрешности всегда округляют с завышением.

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример 1.6. Вычислим х= . Получим х =15, 362291. Округлим результат до десятых методом симметрического округления: х ₁=15, 4; =0, 04. Все цифры числа х ₁ верны в строгом смысле.

Абсолютная погрешность числа х ₁, получаемого в результате округления приближенного значения х, складывается из абсолютной погрешности первоначального числа х (являющегося приближением точного значения Х) и погрешности округления. Действительно, из неравенства:

+

следует, что если в результате округления приближенного числа х, получено значение х₁, то предельной абсолютной погрешностью числа х₁ можно считать сумму предельной абсолютной погрешности числа х и погрешности округления.

Пример 1.7. Пусть в приближенном значении а =16, 395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: а ₁=16, 40. Погрешность округления =0, 005. Для нахождения полной погрешности нужно сложить с погрешностью исходного значения а ₁, которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: =0, 001. Таким образом, = + =0, 001+0, 005=0, 006. Отсюда следует, что в значении =16, 40 цифра 0 не верна в строгом смысле.

1. Определение количества верных цифр по относительной погрешности приближенного числа.

Количество верных значащих цифр в приближенном числе и величина относительной погрешности этого числа взаимосвязаны. Эта связь со всей очевидностью вытекает уже из того, что по величине х, учитывая формулу (1.6), можно вычислить абсолютную погрешность , которая, как следует из определения верных значащих цифр, явно влияет на их количество в приближенном числе. На практике иногда удобнее пользоваться правилом, устанавливающим взаимосвязь количества верных цифр непосредственно с величиной относительной погрешности. Рассмотрим этот вопрос применительно к приближенному числу х, записанному в форме с плавающей запятой х= , в предположении что мантисса М удовлетворяет условию 0, 1 < 1. У числа в таком виде первый разряд мантиссы после запятой всегда отличен от нуля (число х в этом случае называют нормализованным). Заметим также, что для числа, записанного в указанной Фоме, справедливо ограничение:

< . (1.7)

Итак, имеются приближенное число х и его относительная погрешность . Нужно установить количество верных в строгом смысле значащих цифр в числе х.

Для каждого известного значения можно подобрать такое наибольшее натуральное n, чтобы имело место неравенство:

(1.8)

Тогда < = < , т.е.

< . (1.9)

Сопоставляя теперь (1.7) и (1.9) и используя определение цифры, верной в строгом смысле, можно сделать вывод, что в мантиссе приближенного числа верны в строгом смысле по крайней мере цифр после запятой (и, стало быть, все эти цифры – значащие). Таким образом, для того, чтобы по заданной величине относительной погрешности найти количество верных значащих цифр в числе , достаточно подобрать наибольшее натуральное такое, чтобы имело место неравенство , а потом полученное значение уменьшить на единицу.

Пример 1.8. Пусть x= 984, 6; =0, 008. Очевидно, что 0, 008 . Это означает, что число х имеет по крайней мере одну верную в строгом смысле цифру (это первая слева цифра 9). Полученный результат легко подтвердить, используя определение цифры, верной в строгом смысле. Вычислим: х =984, 6·0, 008=7, 8768, откуда следует, что в числе 984, 6 цифра 9 действительно верна в строгом смысле.

Полученное правило в отдельных случаях проявляет завышенную “осторожность” - при выполнении условия (1.8) в числе могут оказаться верными все n цифр. Зависит это от величины первых значащих цифр числа x.

1. Вычисление ошибок арифметических действий.

Рассмотрим формулы для учета распространения ошибок при выполнении основных арифметических действий.

Таблица 1.1.

#

Используя приведенные в таблице 1.1 формулы, можно вести пооперационный учет ошибок арифметических действий на компьютере.

.

1. Оценка погрешностей значений функций.

Вычисления по формулам нередко предполагают нахождение значений различных математических функций. При этом становится актуальным вопрос о методах определения погрешностей значений элементарных функций.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности приближенного значения аргумента , а - абсолютная ошибка значения аргумента. Тогда абсолютная ошибка значения функции . Поскольку на практике ошибка обычно мала по сравнению со значением , воспользуемся приближенным равенством: . Заменим на . Это означает, что можно принять

(1.10)

Равенство (1.10) позволяет получить целую серию формул для оценки предельных абсолютных погрешностей значений элементарных функций. Например: . Тогда , или ; и так далее.

Из формулы (1.10) можно сделать важное наблюдение – если значение модуля производной функции в точке меньше единицы, то < , т.е. абсолютная ошибка значения функции оказывается меньше абсолютной ошибки значения аргумента. Если же > 1, то значение функции будет иметь ошибку, большую ошибки аргумента.

В таблице 1.2 приведены формулы для вычисления предельных абсолютных погрешностей значений некоторых функций одной переменной.

Таблица 1.2.

1. Способы приближенных вычислений по заданной формуле.

Наиболее распространенный вид вычислений – это вычисления по заданной формуле. Рассмотрим некоторые способы приближенных вычислений.

- 6.1 Вычисления по правилам подсчета цифр.

При вычислении этим методом явного учета погрешностей не ведется, правила подсчета цифр показывают лишь, какое количество значащих цифр или десятичных знаков в результате можно считать надежными. Сами эти правила основываются на выводах, вытекающих из формул для оценки погрешностей арифметических действий и функций (см. разделы 4 и 5). Приведем эти правила в систематизированном виде:

1. При сложении и вычитании приближенных чисел младший из сохраняемых десятичных разрядов результата должен являться наибольшим среди десятичных разрядов, выражаемых последними верными значащими цифрами исходных данных. (Когда точность исходных данных такова, что все они имеют десятичные знаки после запятой, т.е. являются десятичными дробями, правило формулируется более доступно: при сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует считать верными столько десятичных знаков после запятой, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом знаков после запятой. Количество десятичных знаков перед выполнением действия целесообразно уравнивать, округляя до одной запасной исходные данные с б льшим количеством десятичных знаков.) Следует избегать вычитания близких по величине чисел, а также при пооперационном применении правила для сложения и вычитания нескольких чисел подряд стараться производить действия над числами в порядке возрастания их абсолютных величин.

2. При умножении и делении приближенных чисел нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы в них было лишь на одну значащую цифру больше, чем в наименее точном числе. В результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько их в числе с наименьшим количеством значащих цифр.

3. При определении количества верных цифр в значениях элементарных функций от приближенных значений аргумента следует грубо оценить значение модуля производной функции. Если это значение не превосходит единицы или близко к ней, то в значении функции можно считать верными столько знаков после запятой, сколько их имеет значение аргумента. Если же модуль производной функции в окрестности приближенного значения аргумента превосходит единицу, то количество верных десятичных знаков в значении функции меньше, чем в значении аргумента на величину , где – наименьший показатель степени, при котором имеет место < .

4. При записи промежуточных результатов следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют правила 1-3. В окончательном результате эта запасная цифра округляется.

Правила подсчета цифр носят оценочный характер и не являются методом строгого учета точности вычислений. Обычно их применяют тогда, когда быстро и без особых затрат нужно получить результат, не особо беспокоясь о его достоверности. Между тем практическая надежность этих правил достаточно высока в результате вычислительной вероятности взаимопогашения ошибок, не учитываемой при строгом подсчете предельных погрешностей. При операционном учете ошибок вычислений используется обычная расчетная таблица – так называемая расписка формулы.

Пример 1.9. Вычислите значение величины:

(1.11)

по правилам подсчета цифр для приближенных значений и , у которых все цифры верны.

Вычисления приведены в таблице 1.3:

Таблица 1.3.

a	b							A
2, 156	0, 927	8, 637	0, 9628	9, 600	0, 8593	3, 0153	1, 1037	8, 698

Прокомментируем ход вычислений. Сначала вычислим . Это же дает нам и оценку величины производной в этой точке: < , т.е. в полученном значении следует сохранять на один десятичный знак меньше, чем в значении аргумента. Округляя с одной запасной цифрой, получаем 8, 63 7 (запасная цифра выделена) и заносим результат в таблицу. Далее вычисляем =0, 9628083, причем модуль производной () меньше единицы, поэтому сохраняем после запятой три знака и один запасной: 0, 962 8. При вычислении суммы в числителе находим 8, 637+0, 9628=9, 5998 и, согласно правилу 1, округляем результат до тысячных: 9, 600. При вычислении пользуемся правилом 2, а при нахождении суммы - правилом 1.

При определении количества верных цифр в значении снова применяем правило 3 (учитываем, что производная функции при х > 1 имеет значение меньше единицы). Округляя окончательный результат без запасной цифры, получим А =8, 70 (три верные значащие цифры).

- 6.2 Вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей.

Этот метод предусматривает использование правил вычисления предельных абсолютных погрешностей, рассмотренных в подразделах 4 и 5. При пооперационном учете ошибок промежуточные результаты, так же как и их погрешности, заносятся в специальную таблицу, состоящую из двух параллельно заполняемых частей – для результатов и их погрешностей. В таблице 4 приведены пошаговые вычисления со строгим учетом предельных абсолютных погрешностей по той же формуле, что и в примере 1.9, и в предположении что исходные данные и имеют предельные абсолютные погрешности (т.е. у и все цифры верны в строгом смысле). Промежуточные результаты вносятся в таблицу после округления до одной запасной цифры (с учетом вычисленной параллельно величины погрешности); значения погрешностей для удобства округляются (с возрастанием!) до двух значащих цифр. Проследим ход вычислений на одном этапе (см. таблицу 1.4).

Таблица 1.4.

a	b							A
2, 156	0, 927	8, 637	0, 9628	9, 603	0, 860	3, 016	1, 104	8, 70
a	b	()	()	()	()	()		A
0, 0005	0, 0005	0, 0044	0, 00027	0, 0054	0, 0016	0, 0021	0, 00076	0, 016

Используя калькулятор, имеем =8, 63652. Подсчитаем предельную абсолютную погрешность (см. табл. 1.2): =0, 0043182 0, 0044. Судя по ее величине, в полученном значении экспоненты в строгом смысле верны два знака после запятой. Округляем это значение с одной запасной цифрой: 8, 63 7 (запасная цифра выделена) и вносим его в таблицу. Все последующие действия выполняем аналогично с применением соответствующих формул для предельных абсолютных погрешностей.

Округляя окончательный результат до последней верной в строгом смысле цифры, а также округляя погрешность до соответствующих разрядов результата, окончательно получаем: .

- 6.3 Вычисления по методу границ.

Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений – метод границ.

Пусть - функция непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов и y. Нужно получить ее значение , где a и b – приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

< а < < b < . (1.12)

Здесь НГ, ВГ – обозначения соответственно нижней и верхней границ параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения при известных границах значений а и b.

Допустим, что функция возрастает по каждому из аргументов х и у. Тогда

< < .

Пусть теперь возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у. Тогда будет строго гарантировано неравенство:

< < .

Рассмотрим указанный принцип на примере основных арифметических действий. Пусть . Тогда очевидно, что

< < (1.13)

Точно так же для функции (она возрастает по х, а по у убывает) имеем:

< < (1.14)

Аналогично для умножения и деления:

< < ; (1.15)

< < . (1.16)

Рассмотрим функцию . Замечаем, что при увеличении х она убывает, а с увеличением у – возрастает (при соблюдении условий существования). Следовательно имеет место неравенство:

< < .

Вычисляя по методу границ с пошаговой регистрацией промежуточных результатов, удобно использовать обычную вычислительную таблицу, состоящую из двух строк – отдельно для вычисления НГ и ВГ результата. При выполнении промежуточных вычислений и округлении результатов используются все рекомендации правил подсчета цифр с одним важным дополнением: округление нижних границ ведется по недостатку, а верхних - по избытку. Окончательные результаты округляются по этому же правилу до последней верной цифры.

В таблице 1.5 приведены вычисления по формуле методом границ. Нижняя и верхняя границы значений а и b определены из условия, что в исходных данных и все цифры верны в строгом смысле , т.е. 2, 1555 < а< 2, 1565;

0, 9265< b < 0, 9275;

Таблица 1.5.

	a	b			+				A
НГ	2, 1555	0, 9265	8, 63220	0, 96255	9, 59475	0, 85840	3, 01434	1, 10338	8, 6894
ВГ	2, 1565	0, 9275	8, 64084	0, 96307	9, 60391	0, 86026	3, 01676	1, 10419	8, 7041

Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет вид:

8, 6894 < А< 8, 7041.

1. Приближенные вычисления по формулам с использованием инструментального пакета Excel.

Оценка точности получения результатов при осуществлении элементарных арифметических расчетов может быть предусмотрена и при использовании инструментального программного средства Ехсеl. К сожалению, запроса точности исходных данных при применении этого пакета не предусматривается. Это означает, что пользователь должен сам организовывать учет ошибок вычислений.

Значительная часть интегрированных программных средств автоматизации процесса решения математических задач принадлежит к классу систем символьной математики.

Символьный тип данных — это символы, тексты и математические выражения (формулы).

Целочисленные данные представляются без погрешности, и арифметические операции над целыми числами системы выполняют также без погрешностей.

Рациональные данные задаются отношением целых чисел и также представляют результат точно. Количество цифр, представляющих большое целое число, ограничено лишь его значением, но не фиксированными форматами.

Для целочисленных операций используются не обычные команды микропроцессора, ориентированные на фиксированные форматы, а специальные, реализованные программно, алгоритмы вычислений с целыми числами произвольной разрядности.

Вещественные числа в системах символьной математики могут иметь мантиссу с любым, но конечным числом знаков.

Вещественные числа всегда имеют некоторую погрешность представления результатов из-за неизбежного округления их и существования так называемого “машинного нуля” — наименьшего числа, которое воспринимается как нуль

Посмотрим выполнение расчетов средствами инструментального пакета Excel по формулам на основе уже рассмотренных нами ранее примеров вычислений.

Пример 1.10. Вычислим значение величины А = при заданных значениях параметров а и b с итоговой регистрацией результатов вычислений по методу систематического учета границ абсолютных погрешностей (рис. 1.1) в среде табличного процессора Ехсе1. Для этого воспользуемся формулой, полученной путем последовательного применения формул для погрешностей арифметических действий и элементарных функций, приведенных в табл. 1.1 и 1.2.

.

Используя результаты, полученные в таблице, изображенной на рис. 1.1, получаем:

А= 8, 7 0 ±0, 01.

Пример 1.11. Предыдущее задание может быть выполнено в Ехсel и с пошаговой регистрацией границ абсолютных погрешностей (рис. 1.2).

В ячейках электронной таблицы записываем соответствующие формулы (см. рис. 1.2). На каждом шаге вычислений выполняется ручное округление результатов до цифр, верных в широком смысле (т.е. с одной запасной цифрой). Для этого используется встроенная функция округления ОКРУГЛ (число; количество_цифр).

Результаты расчетов представлены на рис. 1.3.

Окончательный результат: А= 8, 70±0, 01.

Рисунок 1.1. Вычисления по формуле с итоговой регистрацией границ абсолютных погрешностей

.

Рисунок 1.2. Реализация метода систематического учета границ абсолютных погрешностей в Excel.

Рисунок 1.3. Расчетная электронная таблица.