Уточнение корня методом половинного деления.

При решении уравнения, как правило, заранее задается допустимая погрешность приближенного значения корня . В процессе уточнения корней требуется найти их приближенные значения, отличающиеся от точных не более чем на .

Описанный в подразд. 1 способ табулирования может рассматриваться и как способ уточнения корня (хотя и крайне неэффективный). При этом можно либо постепенно уменьшать шаг табулирования, приближая его к значению , либо сделать это сразу, полагая h= . В любом случае получим < . Тогда в качестве искомого значения корня можно выбрать середину этого отрезка, т.е. положить = (а+b)/2, а граница погрешности не превзойдет значения /2.

Гораздо более эффективным, чем табулирование с постоянным шагом, является так называемый метод половинного деления. Пусть уравнение (2.1) имеет на отрезке [а; b] единственный корень, причем функция F(х) на этом отрезке непрерывна. Разделим отрезок [а; b] пополам точкой с₀=(а+b)/2. Если F(с₀) 0 (что практически наиболее вероятно), то возможны два случая: F(х) меняет знак либо на отрезке [ a; с₀ ], либо на отрезке [с₀; b] (рис. 2.4 ). Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Рисунок 2.4. Иллюстрация метода половинного деления.

Метод половинного деления вполне можно использовать как метод решения уравнения с заданной точностью. Действительно, если на каком-то этапе процесса получен отрезок [а; b], содержащий корень, то, приняв приближенно х=(а+b) /2, получим ошибку, не превышающую значения:

(2.3)

(заметим, что речь в данном случае идет о погрешности метода). Метод половинного деления требует утомительных ручных вычислений, однако он легко реализуется с помощью программы на компьютере (блок-схему алгоритма см. на рис. 2.5).

Отметим, что даже если на каком-то этапе деления отрезка пополам получится F(с) =0, это не

приведет к сбою алгоритма.

Рисунок 2.5. Блок-схема алгоритма метода половинного деления.

Рассмотрим еще несколько наиболее распространенных численных методов решения нелинейных уравнений с одной переменной.