Метод хорд.

Пусть мы нашли отрезок [а, b], на котором функция F(x) меняет знак. Для определенности примем F(a)> 0, F(b)< 0 (рис. 2.6). В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения (2.1) принимаются значения c₀, c₁,... точек пересечения хорды с осью абсцисс. Сначала находим уравнение хорды АВ:

.

Для точки пересечения ее с осью абсцисс (x=c₀, у=0) получим уравнение:

(2.4)

Далее, сравнивая знаки величин F(a) и F(c₀) для рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале [ а, с_о, ] так как F(a)F(c_o)< 0. Отрезок [ с_о, b ] отбрасываем. Следующая итерация состоит в определении нового приближения с₁ как точки пересечения хорды АВ₁ с осью абсцисс и т. д.

В отличие от метода половинного деления в методе хорд условие окончания итераций типа < 2 неприменимо. Так, на рис. 9 видно, что длина отрезка [a, c_k] никогда не станет меньше длины отрезка [а, с]. Вместо этого условия нужно использовать условие близости двух последовательных приближений < (2.5) или условие < (2.6). Метод половинного деления и метод хорд весьма похожи, в частности, процедурой проверки знаков функции на концах отрезка. При этом второй из них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. Кроме того, оба рассмотренных метода не требуют знания дополнительной информации о функции F(x). Например, не требуется, чтобы функция была дифференцируема. Непрерывность F(x) гарантирует успех применения этих методов. Более сложные методы решения нелинейных уравнений используют дополнительную информацию о функции F(x), прежде всего свойство дифференцируемости функции. Как результат они обычно обладают более быстрой сходимостью, но в то же время, применимы для более узкого класса функций, и их сходимость не всегда гарантирована. Примером такого метода служит метод Ньютона.

.

Рисунок 2.6. Иллюстрация метода хорд